高中数学(北师大版)必修五教案:1.1-拓展资料:叠加、叠乘、迭代递推、代数转化.docx
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1、叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类:一类是依据前几项的特点归纳猜想出a的表达式,然后用数学归纳法证明;另一类是将已知递推关系,用代数法、迭代法、换元法,或是转化为基本数列(等差或等比)的方法求通项第一类方法要求同学有确定的观看力气以及足够的结构阅历,才能顺当完成,对同学要求高其次类方法有确定的规律性,只需遵循其特有规律方可顺当求解在教学中,我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法一、叠加相消类型一:形如aa+ f (n), 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式(a)或可裂项成差的分式形式可移项后叠加相消例1:已知
2、数列a,a0,nN,aa(2n1),求通项公式a 解:a=a(2n1)a=a(2n1) aa =1 、aa=3 、 aa=2n3 a= a(aa)(aa)(aa)=0135(2n3)=1(2n3)( n1)=( n1)2 nN练习1:.已知数列a,a=1, nN,a=a3 n , 求通项公式a .已知数列a满足a3,nN,求a二、叠乘相约类型二:形如.其中f (n) = (p0,m0,b c = km,kZ)或 =kn(k0)或= km( k 0, 0m且m 1) 例2:已知数列a, a=1,a0,( n1) a2 n a2aa=0,求a 解:( n1) a2 n a2aa=0 (n1) an
3、a(aa)= 0 a0 aa 0 (n1) ana=0 练习2:已知数列a满足S= a( nN), S是 a的前n项和,a=1,求a.已知数列a满足a= 3 na( nN),且a=1,求a三、逐层迭代递推类型三:形如a= f (a),其中f (a)是关于a的函数.需逐层迭代、细心查找其中规律例3:已知数列a,a=1, nN,a= 2a3 n ,求通项公式a解: a= 2 a3 n a=2 a3 n-1 =2(2 a3 n-2)3 n-1 = 22(2 a3 n-3)23 n-23 n-1=2 n-2(2 a3 )2 n-33 22 n-43 32 n-53 4223 n-323 n-23 n-
4、1=2 n-12 n-23 2 n-33 22 n-43 3223 n-323 n-23 n-1 练习3:.若数列a中,a=3,且a=a(nN),求通项a.已知数列a的前n项和S满足S=2a+,nN,求通项a四、运用代数方法变形,转化为基本数列求解类型四:形如= ,(pq 0)且的数列,可通过倒数变形为基本数列问题当p = q时,则有: 转化为等差数列;当p q时,则有:同类型五转化为等比数列例4:若数列a中,a=1,a= nN,求通项a解: 又 , 数列 a是首项为1,公差为的等差数列=1 a= nN练习4:已知f (n) = ,数列 a满足 a=1,a=f (a),求a类型五:形如apa+
5、 q ,pq0 ,p、q为常数当p 1时,为等差数列;当p 1时,可在两边同时加上同一个数x,即a+ x = pa+ q + x a+ x = p(a+ ), 令x = x = 时,有a+ x = p(a+ x ), 从而转化为等比数列 a+ 求解例5:已知数列a中,a=1,a= a+ 1,n= 1、2、3、,求通项a解: a= a+ 1 a2 =(a 2) 又a2 = -10 数列 a2首项为-1,公比为的等比数列 a2 = -1 即 a= 2 2 nN练习5:.已知 a=1,a= 2 a+ 3 (n = 2、3、4) ,求数列a的通项 . 已知数列a满足a= ,a=,求a类型六:形如apa
6、+ f (n),p0且 p为常数,f (n)为关于n的函数当p 1时,则 aa+ f (n) 即类型一当p 1时,f (n)为关于n的多项式或指数形式(a)或指数和多项式的混合形式若f (n)为关于n的多项式(f (n) = kn + b或kn+ bn + c,k、b、c为常数),可用待定系数法转化为等比数列例6:已知数列 a满足a=1,a= 2an,nN求a解:令a+ xa(n+1)+ b(n+1) + c = 2(a+ an+ bn + c) 即 a= 2 a+ (2aax)n+ (2b -2ax bx)n +2c ax bx cx 比较系数得: 令x = 1,得: a+ (n+1)+2(
7、n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) a+1+21+3 = 7令b= a+ n+2n + 3 则 b= 2b b= 7 数列 b为首项为7,公比为2德等比数列 b= 7 2 即 a+ n+2n + 3 = 7 2 a= 7 2( n+2n + 3 ) nN若f (n)为关于n的指数形式(a)当p不等于底数a时,可转化为等比数列;当p等于底数a时,可转化为等差数列例7:(同例3)若a=1,a= 2 a+ 3,(n = 2、3、4) ,求数列a的通项a解: a= 2 a+ 3 令a+ x3= 2(a+x3) 得 a= 2 ax3 令-x3= 3 x = -1 a3= 2(a3) 又
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