《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.9等差、等比数列的综合应用-讲义.docx

第9课时等差、等比数列的综合应用1.进一步生疏等差、等比数列的通项公式和前n项和公式.2.利用等差、等比数列的学问解决与数列相关的综合问题.重点:利用等差、等比数列的性质解决数列问题.难点:等差、等比数列的性质的应用.前面我们共同学习了等差、等比数列的概念和通项公式以及前n项和公式,并了解了它们的性质及其应用,这一讲我们将共同探究等差、等比数列的综合应用,以及在实际问题中如何利用等差、等比数列建立数学模型.问题1:通项公式及其变形:(1)若an是等差数列,则an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,d=.(2)若an是等比数列,则an= a1qn-1 = amqn-m ,qn-m=.通项公式的性质:(1)若m+n=p+q,则.(2)am,am+k,am+2k,am+3k,问题2:前n项和Sn及其变形:(1)等差数列Sn=na1+d=nan-d.(2)等比数列Sn=(q1).前n项和Sn的简洁性质:(1)等差:Sn=na1+=n2+(a1-)n,故当d0时,Sn是关于n的一个二次函数,它的图象是抛物线y=x2+(a1-)x 上横坐标为正整数的一群孤立的点.而=n+(a1-)是关于n的一次函数(d0)或常数函数(d=0),即数列是以为公差的等差数列.(2)等比:当q=1时,Sn=na1是一个关于n的一次函数;当q1时,Sn=+(-qn),令A=,B=-,则Sn=A+Bqn,A+B=0.(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,问题3:与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+xr).(2)银行储蓄复利公式:利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+r)x.(3)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x.(4)分期付款模型:a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则b=.(可尝试证明)问题4:数列综合应用题的解题步骤(1)审题弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.(2)分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.(3)求解分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答.(4)还原将所求结果还原到实际问题中.我国汉代有位大将,名叫韩信.他每次集合部队,只要求部下先后按13、15、17报数,然后再报告一下各队每次报数的余数,他就知道到了多少人.他的这种奇异算法,被人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理”.1.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则等差数列an的公差为().A.1B.2C.3D.4【解析】在等差数列an中,a1+a5=10,2a3=10,a3=5,又a4=7,公差为2.【答案】B2.在等比数列an中,a1+a2=30,a3+a4=60,则a9+a10等于().A.120B.150C.240D.480【解析】由等比数列性质知q2=2,所以a9+a10=(a1+a2)q8=3024=480.【答案】D3.已知数列an中,a3=2,a7=1,若为等差数列,则a11=.【解析】由等差数列的性质知,成等差数列,则=+,即=+,解得a11=.【答案】4.已知函数f(x)=ax的图象过点(1,),且点(n-1,)(nN*)在函数f(x)=ax的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=an+1-an,若数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn5.【解析】(1)函数f(x)=ax的图象过点(1,),a=,f(x)=()x.又点(n-1,)(nN*)在函数f(x)=ax的图象上,从而=,即an=.(2)由bn=-=得,Sn=+,则Sn=+,两式相减得:Sn=+2(+)-,Sn=5-,Sn5. 等差数列、等比数列的基本量问题有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,其次个数与第三个数的和是12,求这四个数.【方法指导】本题有三种设未知数的方法:(法一)设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数由已知条件可推得为;(法二)设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为2b-bq;(法三)设第一个数与其次个数分别为x,y,则第三、第四个数依次为12-y,16-x.利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而求出这四个数.【解析】(法一)设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数为.依题意有解方程组得:或所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1.(法二)设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数为2b-bq.依题意有解方程组得:或所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1.(法三)设四个数依次为x,y,12-y,16-x.依题意有解方程组得:或这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.【小结】 数列的设法有很多种,方法各异,各有千秋,望同学们认真体会各自的奥妙! 已知Sn求an并推断新数列为等差数列及用错位相减法求和设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:数列为等差数列,并求bn的通项公式;(3)设数列bn的前n项和为Tn,求Tn.【方法指导】(1)依据Sn与an的关系进行求解;(2)利用等差数列的定义进行判定;(3)利用错位相减法求和.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,由于a1=1适合上式,所以an=2n-1(nN*).(2)由于bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即-=2,所以是首项为=1,公差为2的等差数列.所以=1+2(n-1)=2n-1,所以bn=(2n-1)2n.(3) 由于Tn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,所以2Tn=122+323+(2n-5)2n-1+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,由-得:-Tn=2+23+24+2n+1-(2n-1)2n+1,化简得Tn=(2n-3)2n+1+6.【小结】本题涉及三种题型和基本方法,必需弄清且切实把握其要点.数列的实际应用假设某市:2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.估量在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)哪年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%?【方法指导】依据题中条件得出总面积和相应的不等式,再用数列方法求解.【解析】(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+50=25n2+225n,令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数,n10,即到2021年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设第n年建筑的中低价房满足题意,则有400(1+8%)n-185%0.85bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85.由于n是正整数,将1,2,依次代入可得满足上述不等式的最小正整数n=6,即到2009年底,当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%.【小结】对应用题的审题确定要认真认真,否则很简洁出错.三个数成等比数列,若其次个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.【解析】(法一)按等比数列设三个数,设原数列为a,aq,aq2.由已知得a,aq+4,aq2成等差数列,即2(aq+4)=a+aq2;a,aq+4,aq2+32成等比数列,即(aq+4)2=a(aq2+32),即aq+2=4a.联立解得:或这三个数为:2,6,18或,-,.(法二)按等差数列设三个数,设原数列为b-d,b-4,b+d,由已知:三个数成等比数列,即(b-4)2=(b-d)(b+d),8b-d2=16.又b-d,b,b+d+32成等比数列,即b2=(b-d)(b+d+32)32b-d2-32d=0.两式联立,解得:或这三个数为,-,或2,6,18.(法三)任意设三个未知数,设原数列为a1,a2,a3,由a1,a2,a3成等比数列,得:=a1a3.由a1,a2+4,a3成等差数列,得:2(a2+4)=a1+a3.由a1,a2+4,a3+32成等比数列,得:(a2+4)2=a1(a3+32).联立,解得:或已知等差数列an,a3=3,a2+a7=12.(1)求等差数列an的通项公式;(2)设bn=n,求数列bn的前n项和.【解析】(1)由已知a2+a7=12可得a4+a5=12,又由于a3=3,所以a3+a4+a5=15,所以a4=5,所以d=a4-a3=2,a1=a3-2d=-1,所以an=2n-3.(2)由(1)可知bn=n22n-3,设数列bn的前n项和为Tn,所以Tn=12-1+221+323+n22n-3,4Tn=121+223+(n-1)22n-3+n22n-1,-可得:-3Tn=2-1+21+23+22n-3-n22n-1=-n22n-1,所以Tn=+=4n+.为了建设和谐社会,我国打算治理垃圾.经调查,近10年来我国城市垃圾的年平均增长率为3%,到2021年底堆存垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾,垃圾治理已刻不容缓.(1)问2004年我国城市垃圾约有多少亿吨?(2)假如从2022年起,每年处理上年堆存垃圾的,到2021年底,我国城市垃圾约有多少亿吨?可节省土地多少亿平方米?【解析】(1)设2004年我国城市垃圾约有a亿吨,则有a+a(1+3%)+a(1+3%)2+a(1+3%)9=60,a=60,a=5.2(亿吨).(2)2022年底有垃圾60+1亿吨;2021年底有垃圾(60+1)+1=60+1;2022年底有垃圾(60+1)+1=60+1;2021年底有垃圾60()6+()5+()4+1=60()6+36.6(亿吨).可节省土地23.42(亿平方米).1.假如在等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7等于().A.14B.21C.28D.35【解析】在等差数列an中,a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,a1+a2+a7=7a4=74=28.【答案】C2.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x),xR,且f(1)=,则数列f(n)(nN*)的前20项的和为().A.305B.315C.325D.335【解析】由已知f(x+1)-f(x)=,则数列f(n)是首项为,公差为的等差数列,其前20项和为20+=335,故选D.【答案】D3.已知等差数列an的前n项和为Sn=(2n-1)(n+p),则实数p=.【解析】等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d=n2+(a1-)n=(2n-1)(n+p)=2n2+(2p-1)n-p,-p=0,即p=0.【答案】04.求数列(3n-1)4n-1的前n项和Sn.【解析】Sn=240+54+842+(3n-1)4n-1,4Sn=24+542+(3n-4)4n-1+(3n-1)4n,-得:3Sn=-2-3(4+42+4n-1)+(3n-1)4n=2+(3n-2)4n,所以Sn=(n-)4n+.(2021年陕西卷)设Sn表示数列an的前n项和.(1)若an是等差数列,推导Sn的计算公式;(2)若a1=1,q0,且对全部正整数n,有Sn=.推断an是否为等比数列,并证明你的结论.【解析】(1)(法一)设等差数列an的公差为d,则:Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d,2Sn=n(a1+an),Sn=.(法二)设等差数列an的公差为d,则Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d,又Sn=an+an-1+a1=a1+(n-1)d+a1+(n-2)d+a1,2Sn=2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d+2a1+(n-1)d=2na1+n(n-1)d,Sn=na1+d.(2)an是等比数列.证明如下:Sn=,an+1=Sn+1-Sn=-=qn.a1=1,q0,当n1时,有=q,因此数列an是首项为1且公比为q的等比数列.