高中数学(北师大版)必修四教案：2.5-详解示例：平面向量数量积的有关概念.docx

详解示例：平面对量数量积的有关概念
一.两个向量的夹角：
对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
二.平面对量的数量积：
假如两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，留意:数量积是一个实数，不再是一个向量。如
（1）△ABC中，，，，则_________
（答：－9）；
（2）已知，与的夹角为，则等于____
（答：1）；
（3）已知，则等于____
（答：）；
（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____
（答：）
三.向量在向量上的投影:
为，它是一个实数，但不肯定大于0。如已知，，且，则向量在向量上的投影为______
（答：）
四.的几何意义：
数量积等于的模与在上的投影的积。
五.向量数量积的性质：
设两个非零向量，，其夹角为，则：
(1)；
(2)当，同向时，＝，特殊地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，为锐角可以推出,但不肯定可以推出为锐角；当为钝角时，＜0，且不反向，
为钝角可以推出,但不肯定可以推出为钝角;
(3)非零向量，夹角的计算公式：；④。如
①已知，，假如与的夹角为锐角，则的取值范围是______
（答：或且）；
②已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________
（答：）；
③已知与之间有关系式
，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）
六.两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区分？
(1)在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.
(2)已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.
(3)在实数中有，但是在向量的数量积中
，这是由于左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.
七.向量平行(共线)的充要条件：
＝0。如
(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同
（答：2）；
（2）已知，，，且，则x＝______
（答：4）；
（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线
（答：－2或11）.
八、向量垂直的充要条件：
.特殊地
。如
(1)已知，若，则
（答：）；
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知向量，且，则的坐标是________
（答：）.