高中数学(北师大版)必修五教案：1.4-数列求和的若干常用方法.docx

数列求和的若干常用方法
数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要确定的技巧.如某些特殊数列的求和可接受分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。
一、分组求和法
所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例1．数列{an}的前n项和，数列{bn}满 .
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。
解析：（Ⅰ）由，
两式相减得：，
同定义知是首项为1，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：

=
例2． 已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求：
解析：首先由 则：

二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）
（3）等。
例3. 在数列{an}中，，又，
求数列{bn}的前n项的和.
解析： ∵ 　 ∴
∴ 数列{bn}的前n项和

＝ ＝
例4．设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对全部自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前三项；(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.
解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1,
则cn== =
b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn
=
评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考虑则=。下列求和： 也可用裂项求和法。
三、 错位相减法
设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。
例5.已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令， 求数列的前项和。
解析：

①-②得：
。
例6．已知数列是等差数列，且
（Ⅰ）略；（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.
解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由得
①
②
将①式减去②式，得
所以
四、组合化归法
例7.求和：。
解析：
而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。

评析：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。
五、 逆序相加法
例8.设数列是公差为，且首项为的等差数列，
求和：
解析：由于

评析：此类问题还可变换为探究题形：
已知数列的前项和，是否存在等差数列使得
对一切自然数n都成立。
六、 递推法
例6. 已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和。
解析：由题意：

评析：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法。