【1对1】2021年高中数学学业水平考试专题综合检测-模拟试卷(一).docx

1　高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 已知集合P＝{0，1}，Q＝{0，1，2}，则P∩Q＝(　　)
A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {0，1，2}
2. 直线x＝1的倾斜角为(　　)
A. 0° B. 45° C. 90° D. 不存在
3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是(　　)

(第3题)
A. 圆锥　 B. 正方体 C. 正三棱柱 D. 球
4. 下列函数中，为奇函数的是(　　)
A. y＝x＋1 B. y＝ C. y＝log3x D. y＝()x
5. 下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A. y＝　 B. y＝x2 C. y＝2x D. y＝x3
6. 若直线l的方程为2x＋y＋2＝0，则直线l在x轴与y轴上的截距分别为(　　)
A. －1，2 B. 1，－2 C. －1，－2 D. 1，2
7. 已知平面对量a＝(1，2)，b＝(－3，x)．若a∥b，则x等于(　　)
A. 2 B. －3 C. 6 D. －6
8. 已知实数a，b，满足ab>0，且a>b，则(　　)
A. ac2>bc2 B. a2>b2 C. a2<b2 D. <
9. 求值：sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝(　　)
A. －　 B. － C. D.
10. 设M＝2a(a－2)＋7，N＝，则有(　　)
A. M>N B. M≥N C. M<N D. M≤N
11. 已知sinα＝，且角的终边在其次象限，则cosα＝(　　)
A. － B. － C. D.
12. 已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则a5＋a7＝(　　)
A. 16 B. 18 C. 22 D. 28
13. 下列有关命题的说法正确的个数是(　　)
①命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为“两直线不平行，同位角不相等”；
②“若实数x，y满足x＋y＝3，则x＝1且y＝2”的否命题为真命题；
③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
④对于命题p：∃x0∈R，x02＋2x0＋2≤0, 则p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0 .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
14. 已知在椭圆＋＝1上，则(　　)
A. 点不在椭圆上
B. 点不在椭圆上
C. 点在椭圆上
D. 无法推断点，，是否在椭圆上
15. 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
16. 下列各式：
①(log23)2＝2log23; ②log232＝2log23；
③log26＋log23＝log218; ④log26－log23＝log23.
其中正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
17. 下列函数中只有一个零点的是(　　)
A. y＝x－1 B. y＝x2－1 C. y＝2x D. y＝lg x
18. 下列各式中，值为的是(　　)
A. sin215°＋cos215° B. 2sin15°cos15°
C. cos215°－sin215° D. 2sin215°－1
19. 在△ABC中，已知·＝2，且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为(　　)
A. 1　 B. 2 C. 3　 D. 4
20. 已知实数a1，a2，a3，a4，a5构成等比数列，其中a1＝2，a5＝8，则a3的值为(　　)
A. 5 B. 4 C. －4 D. ±4
21. 已知θ∈，则直线y＝xsin θ＋1的倾斜角的取值范围是(　　)
A. [0，] B. [0，] C. [0，] D. [0，]

(第22题)

22. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
23. 若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＋4x－1＝0切于点P(－1，2)，则ab积的值为(　　)
A. 3　 B. 2 C. －3 D. －2
24. 已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确(　　)
A. a∥b B. a⊥b C. |a|＝|b| D. a＋b＝a－b
25. 已知平面α内有两定点A，B，＝3，M，N在α的同侧且MA⊥α，NB⊥α，＝1，＝2.在α上的动点P满足PM，PN与平面α所成的角相等，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A. 9π B. 8π C. 4π D. π
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. 若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
27. 函数y＝x＋(x>0)的值域是________．
28. 若直线2x＋ay－2＝0与直线ax＋2y＋2＝0平行，则a＝________．
29. 若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________．
30. 已知数列{an}是非零等差数列，且a1，a3，a9组成一个等比数列的前三项，则的值是________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)已知cos α＝，<α<2π，，求cos 2α，sin 2α的值．

32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)

[第32题(A)]

(A)如图所示 ，四棱锥P－ABCD的底面为始终角梯形，BA⊥AD, CD⊥AD，CD＝2AB，PA ⊥ 底面ABCD，E为PC的中点．
(1)求证：EB∥平面PAD ；
(2)若PA ＝AD，证明：BE⊥平面PDC.
(B)如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.

[第32题(B)]

(1)试推断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E－DF－C的余弦值．

33. (本题8分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3.
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求点P的坐标．

34. (本题8分)定义在D上的函数f(x)，假如满足：对任意的x∈D，存在常数M>0，都有≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a＋.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并推断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

1　2022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(一)
1. C　2. C　3. A　4. B　5. A　6. C　7. D
8. D　9. D　10. A　11. A　12. C　13. C　14. C
15. A　16. B　17. D　18. C　19. A　20. B
21. D　22. B　23. B　24. B
25. C　[提示：由题意知△AMP∽△BNP，所以|PB|＝2|PA|，不妨以AB所在直线为x轴，中点为原点建立直角坐标系，设P(x，y)，则(x－)2＋y2＝4[(x＋)2＋y2]⇒(x＋)2＋y2＝4，所以P的轨迹是半径为2的圆，因此面积为4π.]
26. 2　27. [2，＋∞)　28. 6
29. －　[提示：由于是双曲线，所以m<0，－＝4，得m＝－.]
30. 1或　[提示：设公差为d，则a1·(a1＋8d)＝(a1＋2d)2⇒a1d＝d2，∴若d＝0，＝1；若d≠0，则a1＝d，∴＝.]
31. 解：cos 2α＝2cos2α－1＝－，∵<α<2π，∴sin α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.
32. (A)证明：(1)取PD的中点Q，连接EQ，AQ，则QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB.又∵QE＝CD＝AB，∴四边形ABEQ是平行四边形，∴BE∥AQ.又∵AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(2)PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴AQ⊥CD.若PA＝AD，∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD.∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD.

(第32题)

(B)(1)如图：在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF//AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AB//平面DEF.　(2)以点D为坐标原点，直线DB，DC为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2 ，0)，E(0，，1)，F(1，，0)．平面CDF的法向量为＝(0，0，2)，设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，即取n＝(3，－，3)，cos〈，n〉＝＝，所以二面角E－DF－C的余弦值为.
33. 解：(1)由得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，|AB|＝，＝＝.由|AB|＝3，即＝3⇒m＝－4.

(第33题)

(2)设P(a，0)，P到直线AB的距离为d，则d＝＝，又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1，故点P的坐标为(5，0)和(－1，0)．
34. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝1＋＋，由于f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使得|f(x)|≤M成立．所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．　(2)由题意知，|f(x)|≤3在[1，＋∞)上恒成立，即－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立.≤a≤，设2x＝t，g(t)＝－4t－，h(t)＝2t－，由x∈[0，＋∞)得t≥1，所以g(t)在[1，＋∞)上递减，h(t)在[1，＋∞)上递增，g(t)max＝g(1)＝－5，h(t)min＝h(1)＝1，所以 a∈[－5，1]．