2020-2021学年高中数学人教A版必修三分层训练-3.3.2-均匀随机数的产生.docx

3.3.2　均匀随机数的产生

一、基础达标
1．与均匀随机数特点不符的是 (　　)
A．它是[0，1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．消灭的每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
答案　D
解析　A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
2．质点在数轴上的区间[0，2]上运动，假定质点消灭在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间[0，1]上的概率为 (　　)
A. B. C. D．以上都不对
答案　C
解析　区间[0，2]的长度为2，记“质点落在区间[0，1]上”为大事A.则大事A的区间长度为1，则P(A)＝.
3．将[0，1]内的均匀随机数a1转化为[－2，6]内的均匀随机数a，需实施的变换为 (　　)
A．a＝a1*18 B．a＝a1*8＋2
C．a＝a1*8－2 D．a＝a1*6
答案　C
解析　验证：当a1＝0时，a＝－2，当a1＝1时，a＝6，知C正确．
4．在一半径为1的圆内有10个点，向圆内随机投点，则这些点不落在这10个点上的概率为 (　　)
A．0 B．1 C. D．无法确定
答案　B
解析　由几何概型公式知，所求概率P＝＝1.
5.向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 (　　)
A. 　　 B.
C. 　　 D．1
答案　C
解析　直线6x－3y－4＝0与直线x＝1交于点，与直线y＝－1交于点，易知阴影部分面积为××＝.∴P＝＝＝.
6．在区间[20，80]上随机取一实数a，则这个实数a落在[50，75]上的概率是________．
答案　
解析　由几何概型概率计算公式，得P＝＝＝.
7．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率．
解　记大事A＝{硬币与格线有公共点}，
设硬币中心为B(x，y)．
步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过平移，伸缩变换，则x＝(x1－0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到两组[－3，3]内的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x，y)的个数)．
(4)计算频率，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．

二、力量提升
8．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm，6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记大事A＝{投中大圆内}，
大事B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
大事C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8，8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4<a2＋b2<16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足上述－8<a<8，－8<b<8的点(a，b)的个数)．
则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是 (　　)
A.，， B.，，
C.，， D.，，
答案　A
解析　P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
9．设b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝(b1－0.5)*6，则b是区间________上的均匀随机数．
答案　[－3，3]
解析　设b为区间[m，n]内的随机数，则b＝b1(n－m)＋m，而b＝(b1－0.5)*6.
∴∴n＝3，m＝－3.
10．如图所示，在半径为1的半圆内放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则点落在正方形内的概率为________．
答案　
解析　S正方形＝＝，S半圆＝×π×12＝，由几何概型的概率计算公式，得P＝＝＝.
11．如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．

解　法一　我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，依据≈，即可求区域A面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
法二　对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．假如一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内．
其次步，统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.
三、探究与创新
12．用随机模拟方法求函数y＝与x轴和直线x＝1围成的图形的面积．
解　如图所示，阴影部分是函数y＝的图象与x轴和直线x＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S.

随机模拟的步骤：
(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y<的点(x，y)的个数)；
(3)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
(4)直线x＝1，y＝1和x，y轴围成的正方形面积是1，由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为＝S.
则S＝，即阴影部分面积的近似值为.
13．将长为l的棒随机折成3段，求3段能构成三角形的概率．
解　设A＝“3段能构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y.
则试验的全部结果可构成集合
Ω＝{(x，y)|0<x<l，0<y<l，0<x＋y<l}，
要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x＋y>l－x－y⇒x＋y>，x＋l－x－y>y⇒y<，
y＋l－x－y>x⇒x<.
故所求结果构成集合
A＝.
由图可知，所求概率为
P(A)＝＝
＝.