2020-2021学年高中数学(苏教版-选修2-1)-模块综合检测(A)-课时作业.docx

模块综合检测(A)
(时间：120分钟　满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知p：2x－3<1，q：x(x－3)<0，则p是q的________________条件．
2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是________________________________________________________________________．
3．下列结论正确的个数是________．
①命题“全部的四边形都是矩形”是存在性命题；
②命题“x∈R，x2＋1<0”是全称命题；
③若p：x∈R，x2＋2x＋1≤0，则p：x∈R，x2＋2x＋1≤0.
4．已知p(x)：x2＋2x－m>0，假如p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是___________________________________________________________________．
5．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________________．
6．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．
7．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，OP＝a，则该双曲线的渐近线方程为
__________________________________________________________________．
8．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．
9.

如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值是______．
10．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．
11．设F1、F2是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且AF1＝3AF2，则该双曲线的离心率为______．
12．直线l的方程为y＝x＋3，P为l上任意一点，过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为________．
13．已知点M是△ABC所在平面内的一个点，并且对于空间任意一点O，有＝－＋3＋m，则m的值为________．
14．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，
且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

16.(14分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．

17．(14分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

18.(16分)

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
证明：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.

19．(16分)已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．

20.(16分)

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值．

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

模块综合检测(A)
1．既不充分也不必要
解析　∵p：{x|x<2}，q：{x|0<x<3}，
∴pq，qp.
2．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形”；
3．1
解析　①不正确，②正确，③不正确．
4．[3,8)
解析　由于p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
即m≥3.又由于p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
5.－＝1
解析　由双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.
又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，
∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
6.
解析　由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为
y＝－x，∴－2＝－×4，
∴a＝2b，设b＝k，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.
7.x±y＝0

解析　如图所示，∵O是F1F2的中点，∴＋＝2，
∴(＋)2＝(2)2.
即||2＋||2＋
2||·||·cos 60°＝4||2.
又∵PO＝a，
∴||2＋||2＋||||＝28a2.①
又由双曲线定义得PF1－PF2＝2a，
∴(PF1－PF2)2＝4a2.
即PF＋PF－2PF1·PF2＝4a2.②
由①－②得PF1·PF2＝8a2，
∴PF＋PF＝20a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝，
∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.
即＝2，＝.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
8．充要
解析　a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0⇔a⊥(b－c)，
故“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的充要条件．
9.
解析　以D为原点，DA，DC，DD′所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为

1，则＝(1,1,1)，C(0,1,0)，M，
＝.
故cos〈，〉
＝＝，
则sin〈，〉＝.
10．20
解析　由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，
又e＝＝，即c＝a，∴a2－c2＝a2＝b2＝16，∴a＝5，△ABF2的周长为20.
11.
解析　由AF1＝3AF2，设AF2＝m，
AF1＝3m (m>0)，则2a＝AF1－AF2＝2m，
2c＝＝m，
∴离心率e＝＝.
12.＋＝1
解析　设F1、F2为椭圆的左、右焦点，则F1(－1,0)、F2(1,0)．
由于PF1＋PF2＝2a，当2a最小时PF1＋PF2最小．
由此问题变成在直线l上求一点P使PF1＋PF2最小，最小值为2a.
点F1关于直线l的对称点为F1′(－3,2)，F1′F2＝＝2，
∴a＝.又c＝1.∴b2＝4，
即所求椭圆的方程为＋＝1.
13．－
解析　∵M，A，B，C共面，∴－＋3＋m＝1，
∴m＝1－＝－.
14.
解析　∵双曲线中焦距比虚轴长，∴焦点处内角为60°，又由双曲线性质得四边形为菱形．
∴＝tan 30°＝，
∴c＝b，∴a2＝c2－b2＝2b2，∴a＝b.
∴e＝＝＝.
15．解　由，得，
即2<x<3.∴q：2<x<3.
设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，
∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A.
即2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0.
设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，
需，即.
∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
16．解　如图所示，设PF1＝m，PF2＝n，

则S△F1PF2＝mnsin ＝mn.由椭圆的定义知，
PF1＋PF2＝20，
即m＋n＝20.①
又由余弦定理，得
PF＋PF－2PF1·PF2cos ＝F1F，
即m2＋n2－mn＝122.②
由①2－②，得mn＝.
∴S△F1PF2＝.
17．解　(1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－<a<且a≠±.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
18．证明　(1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，AC交BD于G.

连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，
P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2，即PA∥EG.
而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
19．解　设P(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，
＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝，
·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，
化简整理，得y2＝－8x.
故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.
20.

解　设正方体的棱长为1，如图所示，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O—xyz.
(1)依题意，得B(1,0,0)，
E(0,1，)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以＝(－1,1，)，＝(0,1,0)．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则
sin θ＝＝＝.
故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1)，
＝(－1,1，)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由n·＝0，n·＝0，
得
所以x＝z，y＝z，取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.