【优化设计】2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第三章3.2.1知能演练轻松闯关.docx

1．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于复平面内的(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由z＝z2－z1＝1＋2i－(2＋i)＝(1－2)＋(2－1)i＝－1＋i，因此，复数z＝z2－z1对应的点为(－1,1)，在其次象限．
2．(2021·昆明高二检测)复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于(　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
解析：选A.z＝2i＋(1－i)＝1＋i.
3．复平面内两点Z1、Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．3＋4i B．5－2i
C．－2＋6i D．2－6i
解析：选D.依据复数减法的几何意义，对应的复数等于终点对应的复数减去起点对应的复数，即＝－，所以对应的复数是2－6i.
4．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析：选C.∵|3＋4i|＝＝5，
∴|z－i|＝5，故选C.
5．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝(　　)
A．1－3i B．11i－2
C．i－2 D．5＋5i
解析：选D.∵z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，
又f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝5＋5i.
6．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知，∴或.
∴z＝2±i.
答案：2±i
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O(O为原点)，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是________．
解析：依题意有＝＝－而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
即对应的复数为4－2i.
答案：4－2i
8．(2021·广州高二检测)已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝，当z＝________时，|z|有最小值，最小值为________．
解析：由于|z－z0|＝，所以复数z所对应的点Z在以C(2,2)为圆心，半径为的圆上，由几何图形知|z|的最小值为－＝，此时，点Z是线段OC与圆的交点，线段OC的方程是y＝x(0≤x≤2)，圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝2，联立方程组
解得
所以复数z＝1＋i.
答案：1＋i　
9．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 012＋2 013i)＋(2 013－2 014i)．
解：法一：原式＝(1－2＋3－4＋…－2 012＋2 013)＋(－2＋3－4＋5＋…[phone])i
＝(2 013－1 006)＋(1 006－2 014)i
＝1 007－1 008i.
法二：(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，
(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，
(2 011－2 012i)＋(－2 012＋2 013i)＝－1＋i.
相加得(共有1 006个式子)，
原式＝1 006(－1＋i)＋(2 013－2 014i)
＝1 007－1 008i.
10．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，在下列条件下求动点Z(x，y)的轨迹．
(1)|2z＋i|＝2；
(2)|z＋1＋i|－|z－1－i|＝0；
(3)|z＋5i|－|z－5i|＝8.
解：(1)方程即＝1，表示圆，其圆心为，半径为1.
(2)|z＋1＋i|＝|z－1－i|，点Z到两点A(1,1)，B(－1，－1)距离相等，即轨迹是线段AB的垂直平分线．
(3)轨迹为以点(0，－5)和(0,5)为焦点，实轴长为8的双曲线的上支．

1．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
解析：选D.|z1－z2|
＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|
＝
＝
＝
≤＝＋1.
2．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________.
解析：∵z1＝－2＋4i，z2＝5－i，
∴z1＋z2＝(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.
于是f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋3.
答案：3＋3
3．已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2.
解：

∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝＝1，
∴z1＋z2对应于向量，其中∠COA＝60°，如图1所示．
设对应于复数z1，对应于复数z2，则四边形AOBC是菱形，且△AOC和△BOC都是等边三角形，于是z1＝1，z2＝＋i或z1＝＋i，z2＝1.如图2和图3所示．

4．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△AOB的面积．
解：(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，
于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝(－，－2)，
＝＝(，0)．
即＝(－，－2)，＝(，0)，
于是·＝－，而||＝，||＝，
所以··cos∠AOB＝－，
因此cos∠AOB＝－，故sin∠AOB＝，
故S△AOB＝||||sin∠AOB
＝×××＝.
即△AOB的面积为.