2020-2021学年人教A版高中数学必修4双基限时练22.docx

双基限时练(二十二)
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　)
A.＝ B.与共线
C.＝ D.与共线
解析　由题意知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，∴与共线．
答案　D
2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析　＋－2＝(＋)＋(＋)＝＋，
∴(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0.即2＝2，∴||＝||.故选B.
答案　B
3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值肯定等于(　　)
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
解析　

如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，
∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|.
又|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|b||c||cosθ|
＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值肯定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
答案　A
4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，B，则与直线AB平行的向量的坐标可以是(　　)
①；②；③；④(－7,9)．
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析　∵A(4,6)，B，
∴＝，易知①、②、③与平行，故选C.
答案　C
5．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(－1,1)，＝(1－x，－y)，＝(－x,1－y)，
∵＝λ，∴(x－1，y)＝(－λ，λ)，∴
∴　①
又∵·＝(x，y)·(－1,1)＝－x＋y，
·＝(1－x，－y)·(－x,1－y)＝－x(1－x)－y(1－y)，
∴－x＋y≥－x(1－x)－y(1－y)，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，
整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－≤λ≤1＋，又P是线段AB上的动点，∴λ≤1，∴1－≤λ≤1，故选B.
答案　B
6．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)
A．2 B．4
C．5 D．10
解析　∵＝－，
∴||2＝2－2·＋2.
∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.
∴||2＋||2＝(2＋2)－2·(＋)＋22＝2－2·2＋22.
又2＝162，＝2，代入上式整理得||2＋||2＝102，故所求值为10.
答案　D
7．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比为________．
解析　∵＋＋＝，
∴＝－－＝＋＋＝2，
∴A，P，C三点共线，且点P是靠近点A的线段AC的三等分点，
故＝.
答案　
8．质量m＝2.0 kg的物体，在4 N的水平力作用下，由静止开头在光滑水平面上运动了3 s，则水平力在3 s内对物体所做的功为__________．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.

解析　如图，∵AB＝，取D为AB的中点，又OA＝1，∴∠AOD＝.
∴∠AOB＝.
∴·＝1×1×cos＝－.
答案　－
9.

如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，
则由题意知，点B(，0)，点E(，1)，设点F(a,2)，
所以＝(，0)，＝(a,2)．
由条件解得点F(1,2)，
所以＝(，1)，＝(1－，2)．
所以·＝.
答案　
10．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

解析　如下图，过B作BD∥MN，
易知m＝＝，n＝，

∴m＋n＝.∵＝＝1，
∴AD＋AC＝2AN.
∴m＋n＝2.
答案　2
11.

如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.
求证：AD⊥BC.
分析　解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．
证明　设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0.
∴⊥，即AD⊥BC.
12．已知点A、B的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且＝3，＝3，求证：AB∥CD.
证明　∵＝3，＝3，
∴C(－12,9)，D(6,15)，
∴＝(6,2)，＝(18,6)．
∴＝3，∴AB∥CD.
13．如图所示，以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．

解　设B(x，y)，则||＝.
∵B(x，y)，A(5,2)，
∴||＝.
又||＝||，
∴＝，
整理，得10x＋4y＝29①
∴又＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，且⊥.
∴·＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x2＋y2－5x－2y＝0，②
由①、②解得或
∴B或.