高中数学(北师大版)必修四教案：2.5-从力做的功到向量的数量积.docx

从力做功到向量的数量积【学习目标】（1） 理解平面对量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2） 体会平面对量的数量积与向量投影的关系. （3） 把握平面对量数量积的运算律和它的一些简洁应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.【学习难点】运算律的理解【学问连接】1.已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐标；2.已知(x, y)和实数, 求的坐标；3.已知，求的坐标；4.向量、共线的两种判定方法：()、。【学习过程】1.由力做的功：W = |F|s|cosq， q是F与s的夹角；可以定义：平面对量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq， 并规定0与任何向量的数量积为0。2.向量夹角的概念：。范围0q180。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分；要留意的几个问题： 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所打算。 两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。OaAcbab 在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。由于其中cosq有可能为0.这就得性质2. 已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c 在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 明显，这是由于左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应留意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 留意：射影也是一个数量，不是向量。 当q为锐角时射影为正值； 当q为钝角时射影为负值； 当q为直角时射影为0； 当q = 0时射影为 |b|； 当q = 180时射影为 -|b|.问题(2).如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质. 几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 ea = ae =|a|cosq ab ab = 0 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。 特殊的aa = |a|2或强调：a+b=； cosq =（|a|b|0） |ab|a|b|4.向量数量积的运算满足：1.交换律：ab = ba2.数乘结合律：(a) b =(ab) = a (b)3.安排律：(a + b) c = ac + bc例1.已知：【巩固练习】3.推断下列各题正确与否： 若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0. ( ) 若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0. ( ) 若a 0，ab = 0，则b = 0. ( ) 若ab = 0，则a 、b至少有一个为零. ( ) 若a 0，ab = ac，则b = c. ( ) 若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立. ( ) 对任意向量a、b、c，有(ab) c a (bc). ( ) 对任意向量a，有a2 = |a|2. ( )【学习反思】【作业布置】