高中数学(北师大版)必修四教案：2.5-从力做的功到向量的数量积.docx

从力做功到向量的数量积
【学习目标】
（1） 理解平面对量数量积的含义及其物理意义、几何意义.
（2） 体会平面对量的数量积与向量投影的关系.
（3） 把握平面对量数量积的运算律和它的一些简洁应用.
（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.
【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.
【学习难点】运算律的理解
【学问连接】
1.已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐标；
2.已知(x, y)和实数λ, 求λ的坐标；
3.已知，求的坐标；
4.向量、共线的两种判定方法：∥()▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁。
【学习过程】
1.由力做的功：W = |F|•|s|cosq， q是F与s的夹角；可以定义：平面对量数量积（内积）的定义，a•b = |a||b|cosq， 并规定0与任何向量的数量积为0。×
2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。范围0°≤q≤180°。
由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分；要留意的几个问题：
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所打算。
②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
O
a
A
c
b
a
b
③在实数中，若a¹0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a•b=0，不能推出b=0。由于其中cosq有可能为0.这就得性质2.
④已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a•b = b•c Þ a = c
如右图：a•b = |a||b|cosb = |b||OA|
b•c = |b||c|cosa = |b||OA|
Þa•b=b•c 但a ¹ c
⑤在实数中，有(a•b)c = a(b•c)，但是(a•b)c ¹ a(b•c)
明显，这是由于左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应留意哪些问题.
A
OO
BO
B1O
a
b
q
A
OO
BO
B1O
a
b
q
A
OO
BO
(B1)O
a
b
q

定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。
留意：①射影也是一个数量，不是向量。
②当q为锐角时射影为正值；
当q为钝角时射影为负值；
当q为直角时射影为0；
当q = 0°时射影为 |b|；
当q = 180°时射影为 -|b|.
问题(2).如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质.
几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
①e•a = a•e =|a|cosq
②a^b Û a•b = 0
③当a与b同向时，a•b = |a||b|；当a与b反向时，a•b = -|a||b|。
特殊的a•a = |a|2或
强调：▏a+b▕=▁▁▁▁▁▁▁▁▁；
④cosq =（|a||b|≠0）
⑤ |a×b|≤|a||b|
4.向量数量积的运算满足：
1.交换律：a•b = b•a
2.数乘结合律：(a) •b =(a•b) = a• (b)
3.安排律：(a + b) •c = a•c + b•c

例1.已知：

【巩固练习】

3.推断下列各题正确与否：
①若a = 0，则对任一向量b，有a•b = 0. ( )
②若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有a•b ¹ 0. ( )
③若a ¹ 0，a•b = 0，则b = 0. ( )
④若a•b = 0，则a 、b至少有一个为零. ( )
⑤ 若a ¹ 0，a•b = a•c，则b = c. ( )
⑥若a•b = a•c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立. ( )
⑦对任意向量a、b、c，有(a•b) •c ¹ a• (b•c). ( )
⑧对任意向量a，有a2 = |a|2. ( )

【学习反思】

【作业布置】