高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章-空间向量的运算-1.docx

2.2 空间向量及其加减运算
学习目标
1. 理解空间向量的概念，把握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简洁的立体几何中的问题．
学习过程
一、课前预备
（预习教材，找出怀疑之处）
复习1：平面对量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.
复习2：平面对量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与A. ；
当λ＜0时，λa与A. ；
当λ＝0时，λa＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘支配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
二、新课导学
学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念
问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
新知：空间向量的加法和减法运算：
空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面对量的加法和减法运算，例如右图中，
， ，
试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求.

2. 点C在线段AB上，且,则 , .
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？
(1)加法交换律：A. + B. = B. + a；
(2)加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；
(3)数乘支配律：λ(A. + b) =λA. +λb．
典型例题
例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

变式：在上图中，用表示和.

小结：空间向量加法的运算要留意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
例2 化简下列各式：
(1) ;
(2)
(3)
(4) .

变式：化简下列各式：
(5) ;
(6) ;
(7) .

小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
动手试试
练1. 已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式：
(1) ;
(2) ;
(3)
(4) .

三、总结提升
学习小结
1. 空间向量基本概念；
2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律

学问拓展
平面对量仅限于争辩平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量争辩的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上全部点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
当堂检测：
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B. 若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中，确定有.
2. 长方体中，化简=
3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. B. 或
C. D. ∣∣=∣∣
4. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不行以平行移动
C. 假如两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
课后作业
1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子：
(1) +
(2)－+

2. 如图，平行六面体中，点为与的的交点，，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A.
B.
C.
D.