【同步辅导】2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《定积分的基本定理》.docx

第2课时微积分基本定理1.直观了解并把握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分.1664年秋,牛顿开头争辩微积分问题,他反复阅读笛卡儿几何学,对笛卡儿求切线的“圆法”产生了深厚的爱好并试图查找更好的方法,以前,面积总是被看成是无限小不行重量之和,牛顿则从确定面积的变化率入手,通过反微分计算面积.牛顿不仅揭示了面积计算与求切线的互逆关系,而且格外明确的把它作为一般规律揭示出来,从而奠定了微积分普遍算法的基础.从1684年起,莱布尼兹发表了很多微积分论文.他的第一篇微分学文章一种求极大值微小值和切线的新方法是世界上最早公开发表的关于微分学的文献.在这篇论文中,他简明地解释了他的微分学,文中给出了微分的定义和基本的微分法则.问题1:(1)函数的原函数假如连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即,通常称F(x)是f(x)的一个原函数.(2)微积分基本定理假如连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F(x),则有ab f(x)dx=,定理中的式子称为牛顿莱布尼茨公式.问题2:由微积分定理知求函数f(x)的定积分关键在于找到满足F(x)=f(x)的一个原函数F(x),完成下表,写出常见函数的原函数.函数f(x)C(C是常数)xn(n-1)1xsin xcos xax(a0且a1)ex原函数F(x)问题3:若f(x)是偶函数,则-aa f(x)dx=;若f(x)是奇函数,则-aa f(x)dx=.1.若F(x)=x2,则F(x)的解析式肯定不正确的是().A.F(x)=13x3B.F(x)=x3C.F(x)=13x3+1D.F(x)=13x3+c(c为常数)2.-11 |x|dx等于().A.-11 xdxB.-11 (-x)dxC.-10 (-x)dx+01 xdxD.-10 xdx+01 (-x)dx3.已知t0,若0t (2x-1)dx=6,则t=.4.计算定积分:-11 (x2+sin x)dx.求简洁函数的定积分计算下列定积分:(1)12 1xdx;(2)13 (2x-1x2)dx;(3)-0 (cos x-ex)dx.求较简单函数的定积分计算下列定积分:(1)12 1x2+2xdx;(2)02 sin2x2dx;(3)03 |x2-4|dx.定积分中的参数问题求定积分-43 |x+a|dx.计算下列定积分.(1)14 (3x2-2x-8)dx;(2)04 (cos x-sin x)dx;(3)12 (ex-1x)dx.计算下列定积分.(1)02 cos2xdx;(2)-11 (xcos x-5sin x+2)dx;(3)12 |3-2x|dx.求定积分:02 |x-a|dx.1.05 (2x-4)dx=().A.5 B.4 C.3 D.22.若1a (2x+1x)dx=3+ln 2,且a1,则a的值为().A.6B.4C.3D.23.-43 |x+2|dx=.4.计算下列定积分.(1)49 x(1+x)dx;(2)12 (ex-2x)dx.(2022年江西卷)计算定积分-11 (x2+sin x)dx=.考题变式(我来改编):答案第2课时微积分基本定理学问体系梳理问题1:(1)F(x)=f(x)(2)F(b)-F(a)问题2:Cxxn+1n+1ln x-cos xsin xaxlnaex问题3:20a f(x)dx0基础学习沟通1.B由于(x3)=3x2,所以F(x)=x3不正确.2.C由于x=-x,x0,x,x0,所以选C.3.30t2x-1)dx=(x2-x)0t=t2-t=6,解得t=3(t=-2舍去).4.解:(13x3-cos x)=x2+sin x,-11x2+sinx)dx=(13x3-cosx)-11=23.重点难点探究探究一:【解析】(1)由于(ln x)=1x,所以121xdx=lnx12=ln2-ln1=ln 2.(2)由于(x2)=2x,(1x)=-1x2,所以132x-1x2)dx=132dx-131x2dx=x213+1x13=(9-1)+(13-1)=223.(3)-0cosx-ex)dx=-0cosxdx-0exdx=sinx-0-ex-0=1e-1.【小结】求简洁函数的定积分关键留意两点:(1)把握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解;(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.探究二:【解析】(1)121x2+2xdx=12121x-1x+2)dx=12lnx12-ln(x+2)12=12(ln3-ln2)=12ln32.(2)02sin2x2dx=021-cosx2dx=12021-cosx)dx=12021dx-1202cosxdx=x202-sinx202=-24.(3)03x2-4|dx=024-x2)dx+23x2-4)dx=(4x-13x3)02+(13x3-4x)23=233.【小结】当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、正弦、余弦函数、指数、对数函数与常数的和或差.探究三:【解析】(1)当-a-4即a4时,原式=-43x+a)dx=(x22+ax)-43=7a-72.(2)当-4-a3即-3a4时,原式=-4-ax+a)dx+-a3x+a)dx=(-x22-ax)-4-a+(x22+ax)-a3=a22-4a+8+(a22+3a+92)=a2-a+252.(3)当-a3即a-3时,原式=-43x+a)dx=(-x22-ax)-43=-7a+72.综上所述,得-43x+a|dx=7a-72(a4),a2-a+252(-3a4),-7a+72(a-3).【小结】对于含有确定值符号的被积函数,要去掉确定值符号才能积分.思维拓展应用应用一:(1)原式=143x2dx-142dx-148dx=x314-x214-8x14=24.(2)原式=04cosxdx-04sinxdx=sinx40+cosx04=0.(3)原式=12exdx-121xdx=ex12-lnx12=e2-e-ln2.应用二:(1)02cos2xdx=021+cos2x2dx=12021dx+1202cos2xdx=12(021dx+02cos2xdx)=12(x02-12sin2x02)=12(2-0)-12(sin 22-sin 0)=4.(2)由于y=xcos x-5sin x为奇函数,所以11xcosx-5sinx+2)dx=-112dx=2x-11=4.(3)123-2x|dx=1323-2x)dx+3222x-3)dx=(3x-x2)132+(x2-3x)322=12.应用三:(1)当a2时,02x-a|dx=02a-x)dx=(ax-x22)20=2a-2.(2)当0a2时,02x-a|dx=0aa-x)dx+a2x-a)dx=(ax-x22)a0+(x22-ax)2a=a2-2a+2.(3)当a0时,02x-a|dx=02x-a)dx=(x22-ax)20=2-2a.基础智能检测1.A052x-4)dx=(x2-4x)05=(52-45)-(02-40)=5.2.D由1a2x+1x)dx=(x2+lnx)1a=a2+ln a-1,故有a2+ln a-1=3+ln 2,即a=2.3.292原式=-4-2x-2)dx+-23x+2)dx=292.4.解:(1)x(1+x)=x+x,又(23x32)=x12=x,(12x2)=x,49 x(1+x)dx=49 xdx+49 xdx=23x3294 +12x294 =23(932-432)+12(92-42)=23(27-8)+12(81-16)=2319+1265=2716.(2)12 (ex-2x)dx=12 exdx-212 1xdx=ex21-2ln x21=(e2-e)-2(ln 2-ln 1)=e2-e-2ln 2.全新视角拓展23-11x2+sinx)dx=(13x3-cosx)-11=13-cos 1-(-13-cos 1)=23.