2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练16.docx

双基限时练(十六)
一、选择题
1．某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的(　　)
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′
解析　画图可得．
答案　A
2．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他离动身点恰好 km，那么x的值为(　　)
A. B．2
C．2或 D．3

解析　如图所示，由余弦定理得
3＝9＋x2－2×3x·cos30°，
得x＝2，或x＝.
答案　C
3．一树干被台风吹断，折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为(　　)
A.米 B．20米
C.米 D．20米
解析　如图，在Rt△ABC中，AC＝20，∠C＝30°，AB＝AC·tan30°＝，BC＝＝.

∴树干高h＝＋＝20(米)．
答案　B
4．在地面上一点A处测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方面前进100 m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为(　　)
A．237 m B．227 m
C．247 m D．257 m

解析　由图可知tan60°＝，
∴＝，得h＝≈237(m)．
答案　A
5．海面上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°视角，从B岛望C岛和A岛成30°视角，则B与C之间的距离是(　　)
A．10海里 B.海里
C．5海里 D．5海里
解析　如图BC＝ABsin60°＝5海里．

答案　D
6．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的持续时间为(　　)
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
解析　设t小时后，B市处于危急区内，则由余弦定理得
(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.
化简得4t2－8t＋7≤0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.
答案　B
二、填空题
7．如图，A、N两点之间的距离为________.

解析　由正弦定理得＝，得AN＝＝40.
答案　40
8．两座灯塔A、B与海洋观看站C的距离都等于a km，灯塔A在观看站C的北偏东20°，灯塔B在观看站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为______________________________________________．

解析　由图可知∠ACB＝120°，由余弦定理可知：|AB|＝
＝a km.
答案　a km
9．有一长为100 m的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________ m.
解析　如图可知BC＝AB＝50m，
tan30°＝＝＝
得DC＝50(－) m.

答案　50(－)
三、解答题
10．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解　在△ABC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得
cos∠ADC＝＝＝－.
又∠ADC为三角形的内角，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
所以AB＝＝.
11．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的大路，一辆汽车测得小岛在大路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，求小岛到大路的距离．

解　如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得＝，所以BC＝·sin15°＝(km)．
设C到直线AB的距离为d，则
d＝BC·sin75°＝·＝(km)．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求sinA＋2cosBcosC的值；
(2)已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b的值．
解　(1)由题意得x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，
∵z∥(x＋y)，
∴cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0.
即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC.
∴sinA＋2cosBcosC＝0.
(2)由已知可得sinAcosC＝－3cosAsinC，
由正弦定理及余弦定理，得a×＝(－3)××c.
化简并整理，得a2－c2＝2b2.
又由已知a2－c2＝8b，
∴2b2＝8b.
解得b＝4或b＝0(舍)，∴b＝4.
思 维 探 究
13．如图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．

解　在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理，得＝.
∴BC＝＝ km.
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
∴△ACD为正三角形．
∴AC＝CD＝ km.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°
＝＋－2×××＝.
∴AB＝km.
即河对岸A、B两点间的距离为km.