2020-2021学年高中数学(北师大版-必修4)课时作业2.5第二章-平面向量.docx

§5　从力做的功到向量的数量积

课时目标　1．通过物理中“功”等实例，理解平面对量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面对量的数量积与向量射影的关系．3．把握向量数量积的运算律．

1．两向量的夹角与垂直

(1)夹角：已知两个____________a和b，作＝a，＝b，则________＝θ (0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是__________．
②当θ＝0°时，a与b________．
③当θ＝180°时，a与b________．
(2)垂直：假如a与b的夹角是________，
则称a与b垂直，记作________．
2．射影的概念
____________叫作向量b在a方向上的射影．____________叫作向量a在b方向上的射影．
3．向量的数量积的定义
已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则把__________________叫作a与b的__________(或________)，记作________，即____________________________________．
4．数量积的基本性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔__________；
(2)当a与b同向时，a·b＝__________，
当a与b反向时，a·b＝____________；
(3)a·a＝__________或|a|＝＝；
(4)cos θ＝__________________(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤__________(当且仅当a∥b时等号成立)．
5．平面对量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

一、选择题
1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)
A． B．－ C．± D．1
3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．8
4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)
A．－ B．0 C． D．3
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12

二、填空题
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
8．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0．
其中正确结论的序号是________．
9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________．
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．

三、解答题
11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．

12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|．

力气提升
13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．

14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，由于(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，留意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．

§5　从力做的功到向量的数量积 答案

学问梳理
1．(1)非零向量　∠AOB　①[0，π]　②同向　③反向　(2)90°　a⊥b　
2．|b|cos θ　|a|cos θ　
3．|a||b|cos θ　数量积　内积　a·b
a·b＝|a||b|·cos θ　
4．(1)a·b＝0　(2)|a||b|　－|a||b|
(3)|a|2　(4)　(5)|a||b|
作业设计
1．D　[a在b方向上的射影是
|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1．]
2．A　[∵(3a＋2b)·(λa－b)
＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0．
∴λ＝．]
3．B　[|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2．]
4．A　[a·b＝·＝－·
＝－||||cos 60°＝－．
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－．]
5．C　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．
∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°．]
6．C　[∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72．
∴|a|＝6．]
7．0
解析　b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2
＝2×4×4×cos 120°＋42＝0．
8．④
解析　由于两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0．
9．120°
解析　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2．
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2．
∴cos〈a，b〉＝－，
∴〈a，b〉＝120°．
10．[0,1]
解析　b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1．
11．解　(1)当a∥b时，若a与b同向，
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12．
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12．
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0．
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×＝6．
12．解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝．
|a＋b|＝＝
＝＝5．
|a－b|＝＝
＝＝5．
13．解　(2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝．
|a＋b|＝＝
＝＝1．
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉
＝|2a－b|·
＝＝．
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的射影为．
14．解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝．
|a|＝|2m＋n|＝
＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)
＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－．
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－．
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为．