高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型复习进程.doc

选做题部分 极坐标系与参数方程
一、极坐标系
1．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
2．极坐标与直角坐标的互化
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式

题型一　极坐标与直角坐标的互化
1、已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为 （ ）
A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1）

2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．

3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是(　　)
A．ρ＝cos θ　　B．ρ＝sin θ C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1

5．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

题型二　极坐标方程的应用
由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
1.在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．

2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则
|CP|＝________.

3.在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
(i)则圆C的极坐标方程是________； (ii)直线l被圆C所截得的弦长等于________．

4.在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cos θ被直线l：ρsin＝a截得的弦长为2，则实数a的值是________．

二、参数方程

1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)

题型一　参数方程与普通方程的互化
【例1】把下列参数方程化为普通方程：
(1) 　(2)

题型二　直线与圆的参数方程的应用
1、已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．

2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：
（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．

3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．

综合应用
1、曲线与坐标轴的交点是（ ）
A B C D
3、参数方程（为参数）化为普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．判断下列结论的正误．
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系(　　)
(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是（2，－）(　　)
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的(　　)
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线(　　)
4.参数方程为表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
5．与参数方程为等价的普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
15.参数方程所表示的曲线是 （ ）
A．直线 B．两条射线 C．线段 D．圆
16.下列参数方程（t是参数）与普通方程表示同一曲线的方程是： ( )
A． B． C． D．

3.由参数方程给出曲线在直角坐标系下的方程是 。
4.若直线的参数方程是（t是参数），则过点（4，－1）且与l平行
的直线在y轴上的截距是 。
5.方程（t是参数）表示的是过点 ，倾斜角为 直线。
8.在极坐标系有点M(3,)，若规定极径r＜0, 极角qÎ[0,2p]，则M的极坐标为 ； 若规定极径r＜0，极角qÎ(-p,p)，则M的极坐标为 .
9.的一个顶点在极点O，其它两个顶点分别为，则的面积为 。

6．(2013·北京高考)在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于________．

7、平面直角坐标系中,将曲线为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的倍得到曲线,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线的方程为
(Ⅰ)求和的普通方程:(Ⅱ)求和公共弦的垂直平分线的极坐标方程.

8、已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是
（t为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求的值.

7、已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．
(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

28．参数方程表示什么曲线？

21．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。

22．已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程。
（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积