2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3双基限时练2.docx

双基限时练(二)
1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数的两位数的个数为(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．12
C．30 D．36
解析　先确定十位数字，有6种取法，再确定个位数字有5种取法，由乘法原理得6×5＝30(个)．
答案　C
2．某同学逛书店，发觉三本宠爱的书，打算至少买其中的一本，则购买方案有(　　)
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
解析　买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有一种方案，因此共有方案：3＋3＋1＝7(种)．
答案　C
3．某座四层大楼共有3个门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座楼的第四层的不同走法的种数共有(　　)
A．12 B．24
C．18 D．36
解析　由分步乘法计数原理得，共有3×2×2×2＝24(种)．
答案　B
4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆共有(　　)
A．20个 B．21个
C．25个 D．35个
解析　依题意知，b>a，当b取2,3,4,5,6,7时，对应的a可取值的个数分别为1,2,3,4,5,5个，所以共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20(个)．
答案　A
5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为(　　)种．(　　)
A．240 B．300
C．360 D．420

解析　如图，四棱锥S－ABCD，按S→A→B→C→D依次染色，当A，C同色时有5×4×3×1×3＝180(种)．
当A，C不同色时，有
5×4×3×2×2＝240(种)．
因此共有180＋240＝420(种)．
答案　D
6．要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是(　　)
A．2160 B．720
C．240 D．120
解析　10×9×8＝720(种)．
答案　B
7．完成某项工作需4个步骤，每一步方法数相等，完成这项工作共有81种方法，改革后完成这项工作削减了一个步骤，改革后完成这项工作有________种方法．
解析　设每一步骤有n种方法，则n4＝81，∴n＝3.
削减一个步骤后，共有3×3×3＝27(种)．
答案　27
8．如下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________．(注：其他方向的也是L形)

解析　每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案，该图中共有8个这样的小正方形．故可画出不同的位置的L型图案的个数为4×8＝32.
答案　32
9．1800的正约数有________个．
解析　∵1800＝23×32×52，∴1800的正约数有4×3×3＝36个．
答案　36
10．现有高一4个班同学34人，其中一、二、三、四班分别有7人，8人，9人，10人．他们自愿组成数学课外活动小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解　(1)分四类，第一类，从一班同学中选1人有7种选法；其次类，从二班同学中选1人有8种选法；第三类，从三班同学中选1人有9种选法；第四类，从四班同学中选1人有10种选法，所以共有不同的选法7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班同学中选一人任组长，所以共有不同的选法7×8×9×10＝5040(种)．
(3)分六类，每一类又分两步，从一、二班同学中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班同学中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班同学中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班同学中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班同学中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班同学中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
11．用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．

(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.
解　完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定总的着色方法数．
(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法．
∴共有着色方法6×5×4×4＝480(种)；
(2)与(1)的区分在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n－1)·(n－2)(n－3)．
由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0.
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0.
∴n2－3n－10＝0.
∴n＝5.
12．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{an}．
(1)这个数列共有多少项？
(2)若an＝341，求n.
解　(1)依题意知，这个数列的项数就是由1,2,3,4组成有重复数字的三位数的个数，每一个位置都有4种取法．因此共有4×4×4＝64项．
(2)比341小的数分为两类：第一类：百位数字是1或2，有2×4×4＝32个；其次类：百位数字是3，十位数可以是1,2,3，有3×4＝12个．
因此比341小的数字有32＋12＝44个，所以n＝45.