2020-2021学年北师大版高中数学必修5：第一章-数列单元同步测试.docx

第一章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列－3,7，－11,15…的通项公式可能是(　　)
A．an＝4n－7　　　
B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(4n－1)
解析　逐个检验．
答案　C
2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．5　
C．6 D．7
解析　a2＋a8＝2a5.
答案　C
3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其中前10项和S10＝70，则其公差d等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析　S10＝10×10－d＝70，得d＝.
答案　D
4．已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则等比数列{an}的公比q的值为(　　)
A. B.
C．2 D．8
解析　由＝q3＝＝，得q＝.
答案　B
5．已知等差数列共有11项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为15，则a6为(　　)
A．5 B．30
C．15 D．21
解析　S奇－S偶＝a6＝15.
答案　C
6．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)
A．15 B．16
C．49 D．64
解析　a8＝S8－S7＝64－49＝15.
答案　A
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)
A．11 B．5
C．－8 D．－11
解析　由8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，带入所求式可知答案为D.
答案　D
8．已知等比数列{an}的公比q<0，若a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则数列{an}的前2010项的和等于(　　)
A．2010 B．－1
C．1 D．0
解析　由an＋2＝an＋1＋2an，得q2－q－2＝0，
得q＝2或q＝－1.又q<0，∴q＝－1.又a2＝1，
∴a1＝－1，S2010＝0.
答案　D
9．两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn、Tn，已知＝，则＝(　　)
A．7 B.
C. D.
解析　＝＝＝.
答案　D
10．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规章分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第1个数是(　　)
A．34950 B．35000
C．35010 D．35050
解析　前99组中共有＝4950个数，故第100组中的第一个数为34950.
答案　A
二、填空题(5×5＝25分)
11．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和Sn，则＝________.
解析　∵S4＝8a4＋4a4＋2a4＋a4，∴＝15.
答案　15
12．已知数列{xn}满足：lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.
解析　由lgxn＋1＝1＋lgxn，得＝10，
∴数列{xn}为等比数列，公比为10.
故x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋…＋x100)＝10100.
∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.
答案　100
13．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1,5,17项顺次成等比数列，则所成等比数列的公比为________．
解析　由a＝a1a17，得
(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，即a1＝2d.
∴a5＝a1＋4d＝6d，q＝＝3.
答案　3
14．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N＋，其中，a、b为常数，则ab＝________.
解析　Sn＝＝＝2n2－，
∴a＝2，b＝－，ab＝－1.
答案　－1
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项an＝_____，
若它的第k项满足5<ak<8，则k＝________.
解析　由Sn＝n2－9n，当n＝1时，a1＝－8，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，又n＝1时2n－10＝－8，故an＝2n－10.由5<ak<8，得<k<9，又k∈Z，∴k＝8.
答案　2n－10　8
三、解答题(共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(12分)在等差数列{an}中，a4＝10，a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
解　设等差数列{an}的公差为d，
则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.
∵a3，a6，a10成等比数列，∴a＝a3·a10.
即(10＋2d)2＝(10－d)(10＋6d)，得d＝0或d＝1.
当d＝0时，a1＝a4－3d＝10，S20＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝7，S20＝20a1＋d＝330.
17．(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解　(1)由题意得，a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2)，又a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，∴q＝－.
(2)由已知可得，a1－a12＝3，故a1＝4.
∴Sn＝＝.
18．(12分)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解　(1)由已知a3＝5，a10＝－9得，
　得
∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
19．(13分)已知数列{an}为等差数列，bn＝3an.
(1)求证数列{bn}为等比数列；
(2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·b3·…·b20；
(3)若b3·b5＝39，a4＋a6＝3，求b1·b2·b3·…·bn的最大值．
解　(1)证明略．
(2)∵b1·b2·b3·…·b20＝3a1·3a2·…·3a20＝3a1＋a2＋…＋a20，
又a8＋a13＝m，∴b1·b2·b3·…·b20＝310m.
(3)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d
由得
即得
∴Sn＝a1＋…＋an＝－n2＋15n.
当n＝5时，Sn有最大值，
b1·b2·…·bn＝3a1＋a2＋…＋an＝3Sn.
∴当n＝5时，b1·b2·…·bn有最大值3.
20．(13分)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项公式xn＝2np＋nq(n∈N＋，p、q为常数)且x1，x4，x5成等差数列．
(1)求p、q的值；
(2)求数列{xn}的前n项和Sn的公式．
解　(1)∵x1，x4，x5成等差数列，
∴2x4＝x1＋x5，即2(24p＋4q)＝3＋25p＋5q，
25p＋8q＝25p＋5q＋3，得q＝1.
又x1＝2p＋q＝3，得p＝1，∴p＝1，q＝1.
(2)由(1)知，xn＝2n＋n，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋＝2n＋1－2＋.
21．(13分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)由已知得，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
又a1＝2，
∴数列{an}的通项公式an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1
4·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1
即Sn＝[(3n－1)×22n＋1＋2]．