2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练21.docx

双基限时练(二十一)　从力做的功到向量的数量积
一、选择题
1．下列命题
①a＋(－a)＝0；②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a＋b)·c＝a·c＋b·c.其中正确命题的个数是(　　)
A．0个　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
解析　正确的有②④.
答案　C
2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0
解析　∵a∥b，则b＝λa，λ∈R.
∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝c·a(1＋2λ)．
∵a⊥c，∴a·c＝0.∴c·(a＋2b)＝0.
答案　D
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值为(　　)

A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析　·＝·(－)＝·－2＝－||2＝－1.
答案　B
4．平面对量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　)
A. B．2
C．4 D．12
解析　(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝4＋4＋4×2×1×＝12.∴|a＋2b|＝2.
答案　B
5．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析　|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得：|a|2＋|b|2＋2ab＝|b|2⇒2ab＝－|a|2⇒2|a|·|b|·cosθ＝－|a|2⇒cosθ＝－⇒θ＝120°.
答案　B
6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0.设向量a，b的夹角为θ，所以cosθ＝≤＝.所以θ∈.故选B.
答案　B
7．在△OAB中，＝a，＝b，是AB边上的高，若＝λ，则λ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意知·＝0，即·(＋)＝0，
∴·(＋λ)＝0，
∴λ＝－＝－
＝，故选B.
答案　B
二、填空题
8．已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析　由a·b＝0，得k－2＋(1－2k)×＝0，得k＝.
答案　
9．已知|a|＝3，a·b＝2，则b在a方向上的射影为________．
解析　＝.
答案　
10．若·＋2＝0，则△ABC为________三角形．
解析　由·＋2＝0，得·(＋)＝0，即·＝0，∴⊥，故三角形为直角三角形．
答案　直角
三、解答题
11．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb相互垂直．
解　要使向量a＋kb与a－kb相互垂直，则要满足(a＋kb)·(a－kb)＝0，即(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝|a|2－k2|b|2＝9－16k2＝0，
解得k＝±.
∴当k＝±时，向量a＋kb与a－kb相互垂直．
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|与|a－b|.
解　(1)设a与b的夹角为θ，
由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4a2－3b2－4a·b＝61，
即64－27－4×4×3cosθ＝61，
得cosθ＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
(2)|a＋b|＝＝
＝ ＝；
|a－b|＝＝
＝ ＝.
13．如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点．

求证：AM⊥EF.
证明　由于M是BC的中点，
所以＝(＋)，＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝(·＋·－·－·)
＝(0＋·－·－0)
＝(·－·)＝[||·||cos(90°＋∠BAC)－||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0，
所以⊥，
即AM⊥EF.