2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1：第一章-常用逻辑用语-单元同步测试.docx

第一章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若命题“假如p，那么q”为真，则(　　)
A．q⇒p　　　　　　　　　 B．綈p⇒綈q
C．綈q⇒綈p D．綈q⇒p
解析　p⇒q⇔綈q⇒綈p.
答案　C
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析　由数与向量的意义知，B正确．
答案　B
3．已知下列三个命题，其中真命题是(　　)
①方程x2－x＋2＝0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线垂直且平分；③3≥2.
A．①② B．①③
C．②③ D．①
答案　B
4．下列说法正确的是(　　)
①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不肯定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题肯定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题肯定为真．
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
答案　B
5．下列命题中，真命题是(　　)
A．∀x∈R，x>0 B．假如x<2，那么x<1
C．∃x∈R，x2≤－1 D．∀x∈R，x2＋1≠0
答案　D
6．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα＝1，则α＝
解析　由于“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”，故选C.
答案　C
7．命题“∃数列{an}，{bn}既是等差数列，又是等比数列”(　　)
A．是特称命题并且是假命题
B．是全称命题并且是假命题
C．是特称命题并且是真命题
D．是全称命题并且是真命题
答案　C
8．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则“f(x)<g(x)，x∈R”成立的充要条件是(　　)
A．存在x0∈R，使得f(x0)<g(x0)
B．有很多多个实数x，使得f(x)<g(x)
C．对任意x∈R，都有f(x)＋<g(x)
D．不存在实数x，使得f(x)≥g(x)
答案　D
9．已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是(　　)
A．綈p是特称命题，且是真命题
B．綈p是全称命题，且是假命题
C．綈p是全称命题，且是真命题
D．綈p是特称命题，且是假命题
解析　命题p：∀x∈R，sinx≥0是全称命题，且是假命题．所以綈p应为特称命题，且是真命题，故选A.
答案　A
10．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
11．下列选项中，说法正确的是(　　)
A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题
B．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的否命题是真命题
C．命题“p∨q”为真命题，则命题p和q均为真命题
D．命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
解析　命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是“若a<b，则am2<bm2”是假命题，故A错；命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的否命题是“若a≠－b，则|a|≠|b|”是假命题，故B错；命题“p∨q为真命题，则命题p和q均为真命题或p和q中一真一假”，故C错；D正确．
答案　D
12．给出命题p：若“·>0，则△ABC为锐角三角形”；命题q：“实数a，b，c满足b2＝ac，则a，b，c成等比数列”．那么下列结论正确的是(　　)
A．p且q与p或q都为真
B．p且q为真而p或q为假
C．p且q为假且p或q为假
D．p且q为假且p或q为真
解析　∵·>0⇒∠B为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，∴命题p为假．
∵b2＝acDa，b，c为等比数列(如a＝0，b＝0，c＝1)
∴命题q为假．
故p∧q且p∨q均为假．
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)
13．设α表示平面，a，b表示直线，给定下面四个命题：
①a∥α，a⊥b⇒b⊥α； ②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
③a⊥α，a⊥b⇒b∥α； ④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
其中正确命题的个数有________个．
解析　①中b可能平行于α；②正确；③中b可能在α内；④正确．
答案　2
14．设命题p：m2<m；命题q：对∀x∈R，x2＋4mx＋1≥0，p且q为真命题的充要条件是________．
解析　m2<m⇔m(m－1)<0⇔0<m<1.若命题p为真，则0<m<1；对∀x∈R，x2＋4mx＋1≥0，则Δ＝16m2－4≤0⇔－≤m≤.若命题q为真，则－≤m≤.因此p∧q为真⇔即0<m≤.
答案　0<m≤
15．“若(x－1)(y＋2)≠0，则x≠1且y≠－2”的否命题是____________，逆否命题是____________．
答案　若(x－1)(y＋2)＝0，则x＝1，或y＝－2
若x＝1，或y＝－2，则(x－1)(y＋2)＝0
16．下列若干命题中，正确命题的序号是________．
①“a＝3”是直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行的充分不必要条件；
②△ABC中，若acosA＝bcosB，则该三角形外形为等腰三角形；
③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条相互垂直的直线；
④对于命题P：∃x∈R使得x2－x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2－x＋1≥0.
解析　对于①，直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行，则a(a－1)＝6，解得a＝3或a＝－2，验证知，当a＝3或a＝－2时两直线平行．因此a＝3是两直线平行的充分不必要条件，故①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒A＝B或A＋B＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故②不正确；易知③正确；④正确．
答案　①③④
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．
(1)能被6整除的数肯定是偶数；
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1；
(4)与同始终线平行的两个平面平行．
解　(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数．它是真命题．
(2)若＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2.它是真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1.它是假命题．
(4)若两个平面与同始终线平行，则这两个平面平行．它是假命题．
18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并推断其真假．
解　逆命题为：“已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．
由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.这说明抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴有交点，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．
19．(12分)(1)设集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝}，则“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
(2)∀x∈R，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
解　(1)由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．
∴M∩P＝(2,3]，　M∪P＝R.
当x∈M，或x∈P时，
x∈(M∪P)＝Rx∈(2,3]＝M∩P.
而x∈(M∩P)⇒x∈R.
∴x∈(M∩P)⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
(2)当m＝0时，不等式4mx2－2mx－1<0，对x∈R恒成立．
当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立⇔⇔－4<m<0.
故∀x∈R，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立，
－4<m≤0.
20．(12分)求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0相互垂直”的充要条件．
证明　充分性：
当b＝0时，∵a＋2b＝0，∴a＝0.此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们相互垂直；
当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－.∵a＋2b＝0，∴k1·k2＝·＝＝－1，两直线相互垂直．
必要性：
当两直线相互垂直且斜率都存在时，有k1k2＝·＝＝－1，∴a＋2b＝0；
当两直线中有直线的斜率不存在，且相互垂直时，则b＝0，且a＝0，∴a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0相互垂直”的充要条件．
21．(12分)已知命题p：对于m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，若p∨q为真，且p∧q为假，求a的取值范围．
解　∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
∵对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，可得a2－5a－3≥3，
∴a≥6，或a≤－1.
故命题p为真时，a≥6，或a≤－1.
命题p为假时，－1＜a＜6.
又命题q：x2＋ax＋2<0有解，
∴Δ＝a2－8>0.∴a>2，或a<－2.
从而命题q为真时a>2，或a<－2，
q为假时－2≤a≤2.
依题意p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q必有一真一假．
当p真q假时，a的取值范围是－2≤a≤－1；
当p假q真时，a的取值范围是2<a<6.
综上，a的取值范围是[－2，－1]∪[2，6)．
22．(12分)下图是函数y＝()x和y＝3x2图象的一部分，其中x＝x1，x2(－1<x1<0<x2)时两函数值相等．

(1)给出如下两个命题：
①当x<x1时，()x<3x2；
②当x>x2时，()x<3x2，试判定命题①②的真假并说明理由．
(2)求证：x2∈(0,1)．
解　(1)命题①是假命题，可以举反例：取x＝－10，则x<x1，但是()－10＝1024,3×(－10)2＝300，()x<3x2不成立；
命题②是真命题，∵函数y＝()x在[x2，＋∞)上是减函数，函数y＝3x2在[x2，＋∞)上是增函数，
∴当x>x2时，()x<()x2＝3x<3x2.
(2)证明：构造函数f(x)＝3x2－()x，则f(0)＝－1<0，f(1)＝3－＝>0，
∴f(x)在区间(0,1)内有零点．
又∵f(x)＝3x2－()x在区间(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)在区间(0,1)内的零点唯一．
∴x2∈(0,1)．