高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：计算导数例析.docx

计算导数例析
　　导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则和复合函数求导法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算，学习时应娴熟把握以下求导法：直接利用法则与公式求导、复合函数求导．在求导过程中应熟记导数公式与运算法则，重点把握复合函数的求导方法.
　　学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简洁的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。举例说明如下.
　　例1　求下列函数的导数
　　（1）；　（2）；
　　（3）；　（4）y=tanx。
　　解　（1）；
　　（2）
　　∴
　　或利用函数的积的求导法则：

　　（3），
　　∴
　　（4），
　　∴.
　　例2　求下列函数的导数：
　　.
　　分析：从这两个函数的形式结构来看，都是商的形式，假如直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式.
　　解：（1）

　　（2）
　　点评：（1）不加分析，盲目套用公式，会给运算带来不便，甚至错误，如（2）的求导形式较为简洁，用商的求导法则之后，还需通分化简.
　　（2）先化简，再求导实施求导运算的基本方法，是化难为易、化繁为简的基本原则和策略．
　　例3　求下列函数的导数
　　（1）；　（2）；
　　（3）；　（4）。
　　解　（1），
　　∴
　　（2）

　，
　　∴
　　（3），
　　∴
　　（4）

　　∴.
　　点拨　对于较简洁的函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。
　　例4　利用导数求和：
　　（1）；
　　（2）。
　　分析　这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
　　解　（1）当x=1时，
　　；
　　当x≠1时，
　　∵，
　　两边都是关于x的函数，求导得

　　即
　　（2）∵，
　　两边都是关于x的函数，求导得。
　　令x=1得
　　，
　　即。
　　例5　假如函数f(x)=ax5－bx3＋c（a≠0）在x=±1时有极值，极大值为4，微小值为0，试求a，b，c的值.
　　分析　可通过求导确定可疑点，留意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式，在推断y′的符号时，必需对a进行分类计论.
　　解答　y′=5ax4－3bx2，令y′=0，即5ax4－3bx2=0,x2(5ax2－3b)=0，
　　∵x=±1是极值点，∴ 5a(±1)2－3b=0.
　　又x2=0，∴ 可疑点为x=0，x=±1.
　　若a>0，y′=5ax2(x2－1).

　　当x变化时，y′，y的变化状况如下表：
x
(－∞,－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
极大
↘
无极值
↘
微小
↗
　　由上表可知，当x=－1时，f(x)有极大值，当x=1时，f(x)有微小值.

　　若a<0时，同理可知a=－3，b=－5，c=2.
　　点评　运用待定系数法，从逆向思维动身，实现了问题由已知向未知的转化．在转化过程中，利用了列表，解决了待定系数的问题．