《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.8等比数列的综合应用-练习.docx

1.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于(　　).
A.16　　　B.32　　　C.64　　　D.256
【解析】由已知有a1·a19=16,又a1·a19=,∴在正项等比数列中,a10=4,∴a8·a10·a12==64.
【答案】C
2.在等比数列{an}中,S4=2,S8=6,则a17+a18+a19+a20等于(　　).
A.32　　　　B.16　　　　C.35　　　　D.162
【解析】S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16构成等比数列,公比q为2,则S20-S16=S4·q4=2×24=32,即为所求.
【答案】A
3.在等比数列{an}中,若a4a7+a5a6=20,则此数列的前10项之积为　　　　. 
【解析】由性质可知a4a7=a5a6,∴a4a7=10,
∴a1a2…a10=(a4a7)5=105.
【答案】105
4.已知Sn为数列{an}前n项和,an=1+3+32+33+…+3n-1,求Sn.
【解析】∵an=1+3+32+33+…+3n-1==-,∴Sn=(3+32+33+…+3n)-n=×-n,即Sn=-n-.

5.在等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于(　　).
A. B.()9 C. D.()10
【解析】设等比数列{an}的公比为q,则==,∴q10=,∴a99+a100=q90(a9+a10)=()9·a=.
【答案】A
6.等比数列{an}中a1=512,公比q=-,记Πn=a1×a2×…×an (即Πn表示数列{an}的前n项之积),Π8,Π9,Π10,Π11中值为正数的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】等比数列{an}中a1>0,公比q<0,故奇数项为正数,偶数项为负数,∴Π11<0,Π10<0,Π9>0,Π8>0.
【答案】B
7.已知递增的等比数列{bn}(n∈N*)满足b3+b5=40,b3·b5=256,则数列{bn}的前10项和S10=　　　　. 
【解析】由于b3+b5=40,b3·b5=256,所以或(舍去),所以q2=4,q=2,a1=2,S10==2046.
【答案】2046
8.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,若数列{an·an+1}是公比为2的等比数列,试求通项公式an.
【解析】∵{an·an+1}是公比为2的等比数列,
∴=2,∴=2,n∈N*,又a1=1,a2=3,
∴数列{an}的全部奇数项组成首项为1,公比为2的等比数列,全部偶数项组成首项为3,公比为2的等比数列.
故当n为奇数时,an=1·=,
当n为偶数时,an=3·=3·,
∴通项公式an=

9.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=　　　　. 
【解析】明显公比q≠1,且q>0.
(法一)解得qn=2,=-2,所以S4n==[1-(qn)4]=-2×(1-24)=30.
(法二)由于数列{an}是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n也成等比数列,所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),则(S2n-2)2=2(14-S2n),解得S2n=6或S2n=-4(舍去).又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n),所以(14-6)2=(6-2)·(S4n-14),解得S4n=30.
【答案】30
10.数列{an}中,a1=3,an+an-1+2n-1=0(n∈N*且n≥2).
(1)求a2、a3的值;
(2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】 (1)∵a1=3,an+an-1+2n-1=0(n∈N*且n≥2),
∴a2=-a1-4+1=-6,a3=-a2-6+1=1.
(2)∵===-1(n≥2),
∴数列{an+n}是首项为a1+1=4,公比为-1的等比数列.
∴an+n=4·(-1)n-1,即an=4·(-1)n-1-n.
∴{an}的通项公式是an=4·(-1)n-1-n(n∈N*).
(3)∵an=4·(-1)n-1-n(n∈N*),
∴Sn=a1+a2+…+an
=[4(-1)0-1]+[4(-1)1-2]+[4(-1)2-3]+…+[4(-1)n-1-n]
=4[(-1)0+(-1)1+(-1)2…+(-1)n-1]-(1+2+3+…+n)
=2[1-(-1)n]-.