2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练9.docx

双基限时练(九)
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是(　　)
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不肯定是C
C．f(x，y)＝0是曲线的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上
解析　由题设知曲线C与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确．
答案　B
2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是(　　)
A．y＝x与y＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
C．y＝与xy＝1
D．y＝lgx2与y＝2lgx
解析　易知A，B，D中两方程不是同一曲线，C中两方程表示的是同一曲线，故应选C.
答案　C
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(　　)
A．两个点　　　　　　 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析　由方程⇔x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，
(－2，－2)．
答案　B
4．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析　依题意有(cosα－2)2＋sin2α＝3，化简得cosα＝，又0≤α≤2π，∴α＝或，故选C.
答案　C
5．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1)和(－1，－1) D．(0,0)
解析　⇒或
∴直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)．
答案　C
6．方程y＝表示的曲线是(　　)

解析　y＝＝且y>0，还是偶函数，故应选D.
答案　D
7．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是________．
解析　依题意，知a2＝a(－a)＋2a＋k，
∴k＝2a2－2a＝2(a－)2－.
∵a∈R，∴k≥－.
答案　[－，＋∞)
8.

如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，则动点P的轨迹方程为________．
解析　依题意可知M(0，y)，N(x，－y)，
∴＝(x，y)，＝(x，－2y)．
由·＝4，得x2－2y2＝4，这就是点P的轨迹方程．
答案　x2－2y2＝4
9．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是________________．
解析　设PQ的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则
即
又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2x＋1，
即2y＋1＝2(2x)2＋1，∴y＝4x2.
即y＝4x2为所求的轨迹方程．
答案　y＝4x2
10．已知定点A，B，且AB＝2a(a>0)，假如动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程．
解　以AB所在直线为x轴，以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(－a,0)，B(a,0)．
设点P的坐标为(x，y)，由题意得＝2，
即＝2.
化简整理得3x2－10ax＋3y2＋3a2＝0.
即(x－a)2＋y2＝a2(a>0)为所求的轨迹方程．
11．如图所示，从曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．

解　设P点的坐标为(x，y)，曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，由于点P是线段QN的中点，所以N的坐标为(2x－x0,2y－y0)．
又点N在直线l上，
∴2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2.①
又QN⊥l，∴kQN＝＝1
即x0－y0＝x－y.②
由①②得
x0＝(3x＋y－2)，
y0＝(x＋3y－2)．
又由于点Q在曲线上，
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简整理得
(x－)2－(y－)2＝.
故线段QN的中点P的轨迹方程为
(x－)2－(y－)2＝.
12．已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|MA|＝2|MB|，求证：点M的轨迹方程为2＋2＝.
证明　设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式，得
|MA|＝，
|MB|＝.
∵|MA|＝2|MB|，
∴＝2.
两边平方，并整理得
3x2＋3y2＋2y－8x＋3＝0.
即2＋2＝.①
∴轨迹上每一点的坐标都是方程①的解．
设M1(x1，y1)是方程①的解，
则2＋2＝，
即3x＋3y－8x1＋2y1＋3＝0.
|M1A|＝
＝
＝
＝2＝2|M1B|.
即M1(x1，y1)在符合条件的曲线上．
综上可知，点M的轨迹方程为2＋2＝.