2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练19(第三章).docx

双基限时练(十九)
1．函数y＝2x3－x2的极大值为(　　)
A．0 B．－9
C．0， D.
解析　y′＝6x2－2x，令y′>0，解得x<0，x>，
令y′<0，解得0<x<，
∴当x＝0时，取得极大值0，故选A.
答案　A
2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)
A．微小值－1，极大值1 B．微小值－2，极大值3
C．微小值－2，极大值2 D．微小值－1，极大值3
解析　y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，
易推断当x＝1时，有极大值y＝3，
当x＝－1时，有微小值y＝－1.故选D.
答案　D
3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有微小值，且函数过原点，则该三次函数为(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
解析　当y′＝0时，x＝1，x＝3，
导函数可能为y′＝3(x2－4x＋3)，
∴原函数可能为y＝x3－6x2＋9x.
答案　B
4．已知函数y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析　y′＝6x2－2ax＋36，
∵x＝2为极值点，
∴当x＝2时，y′＝6×4－2a×2＋36＝0，
解得a＝15，∴y′＝6x2－30x＋36，
令y′＝0，得x＝2，或x＝3，
∴当y′>0时，x<2或x>3，
当y′<0时，2<x<3，
∴递增区间是(－∞，2)，(3，＋∞)，故选B.
答案　B
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则(　　)
A．a>－ B．a>－1
C．a<－ D．a<－1
解析　y′＝ex＋a＝0有解，a＝－ex.
设大于零的极值点为x0，则ex0>1，
∴－ex0<－1，即a<－1.
答案　D
6．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的微小值为________．
解析　y′＝6x2－30x＋36＝6(x2－5x＋6)
＝6(x－2)(x－3)．
当x<2时，y′>0；当2<x<3时，y′<0；
当x>3时，y′>0.∴当x＝3时有微小值．
∴微小值为f(3)＝2×33－15×32＋36×3－24＝3.
答案　3
7．若函数y＝x3＋x2＋ax在R上没有极值点，则实数a的取值范围是________．
解析　f′(x)＝x2＋2x＋a，
∵f(x)在R上没有极值点，
∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
答案　a≥1
8．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析　f(x)＝x3－2cx2＋c2x
f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，c＝2或c＝6.
当c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
当<x<2，f′(x)<0，当x>2，f′(x)>0，
∴当x＝2时有微小值．
当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，
当2<x<6时，f′(x)<0，当x<2时，f′(x)>0，
∴当x＝2时有极大值．
∴c＝6符合题意．
答案　6
9．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
解　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
∵函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即解得.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
∴f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取得极大值，f(1)＝5＋8c.
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，
则当x∈时，f(x)的最大值为f (3)＝9＋8c，
∴对于任意的x∈，有f(x)<c2恒成立，
∴9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，
因此，c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
解　(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝－2时， f′(x)＝2x－＝.
当x变化时，f′(x)和f(x)的值的变化状况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
微小值
单调递增
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，微小值是f(1)＝1.
(2)由g(x)＝x2＋alnx＋，
得g′(x)＝2x＋－.
若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．
即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，
也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．
令φ(x)＝－2x2，则φ′(x)＝－－4x.
当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－－4x<0，
∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数，
∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.
故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
11．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1·x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，
从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
(2)Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
∴不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．