2020-2021学年人教A版高中数学必修2双基限时练27.docx

双基限时练(二十七)
1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<　　　　　　　　 B．m<0
C．m> D．m≤
解析　由x2＋y2－x＋y＋m＝0，得(x－)2＋(y＋)2＝－m.
∵该方程表示圆，∴－m>0，即m<.
答案　A
2．方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆，则有(　　)
A．A＝C≠0
B．D2＋E2－4AF>0
C．A＝C≠0且D2＋E2－4AF>0
D．A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0
答案　C
3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于(　　)
A.π B．2π
C．2π D．4π
解析　将圆的方程配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的半径r＝，∴周长为2πr＝2π.
答案　C
4．过点P(－8，－1)，Q(5,12)，R(17,4)三点的圆的圆心坐标是(　　)
A．(5,1) B．(4，－1)
C．(5，－1) D．(－5，－1)
解析　∵圆心到P，Q，R的距离相等，代入各选项的坐标，知C成立．
答案　C
5．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析　点(x，y)关于原点(0,0)的对称点是(－x，－y)，因此圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0)，半径不变，所以方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案　A
6．已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是________．
解析　已知圆的圆心P坐标为(2,0)，∴P到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝.
答案　
7．点A(1,0)在圆x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上，则a的值为________．
解析　依题意得

∴∴a＝－2.
答案　－2
8．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
解析　设圆心M(x，y)，依题意知|MC|＝3，即＝3.所以圆心M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝9
9．已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则
∴
∵点P(x0，y0)在圆C上，∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8·(2x)－6·(2y)＋21＝0.
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
10．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．
解　设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心C在直线2x－y－7＝0上，
∴2－－7＝0.
即D－＋7＝0.①
又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，
∴
由①②③解得
D＝－4，E＝6，F＝8.
∴圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
11．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．
解　(1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)x]2＋(y－2m)2＝9，
∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组即2a＋b＝2.
∴不论m为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
解　不妨设直线方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程与圆的方程联立，消去y，可得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，∴x1＋x2＝－b－1，x1x2＝，
故y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝.
∵以AB为直径的圆过原点，故OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，整理可知x1x2＋y1y2＝0，故＋＝0，解之得b＝－4，或b＝1，验证知，此时Δ＞0，故存在这样的直线l，其方程为y＝x－4，或y＝x＋1.