高中数学(北师大版)选修2-3教案:第2章-拓展资料:囚徒困境与数学期望.docx
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囚徒逆境与数学期望 出名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖.在纳什均衡论中有一个好玩的数学问题叫“囚徒逆境”. 有两名同案犯,被警方抓获并隔离审讯.假如两人拒不交待,将因证据不足而被无罪释放;假如一方招供一方不招,招供的一方将因有立功表现而只被判3年,不招供的一方则将被判10年;假如双方都招供将各被判5年.请问他们将作何种选择? 我们不妨将二人称为甲、乙,在二人无法串供时每人都会选择有利于自己的行为.在不知对方态度的前提下,某一方只能认为对方招供与否是等可能的,于是我们可以利用数学期望对其中的利弊加以分析: 若甲选择不招供,他的刑期数学期望为 年; 若甲选择招供,他的刑期数学期望为 年. 明显,于是甲选择招供,同样,乙自然也选择招供,于是各判5年!这就是所谓的“纳什均衡”.这是数学期望在现实生活中的一个典型应用. 这个问题反映了经济活动中,参与博弈的双方出于利己的动机,并不愿定选择对大家都有利的行为,而是经常就象上面的两名囚徒一样,以两败俱伤而达到所谓的“均衡”.当然这里双方的行为取决于玩耍的规章,假如规章适当就可以毁灭互惠的局面.如上述问题中,若将不招供一方的刑期由10年变为6年,这时,于是双方都选择不招供!在市场经济中,市场的监管者———政府所制定的市场规章打算着个人的经济行为,这样的例子在经济活动中和日常生活中比比皆是.下面举三例以作分析. 例1 某商场通过检查发觉存在火灾隐患,并估量发生火灾的概率为0.01,一旦发生火灾将造成1000万元的经济损失和人员伤亡,假照实行某预防措施需花费30万元,则可防止火灾发生.由于一旦发生火灾造成人员伤亡,其损失是无法用金钱来计算的,因此政府鼓舞商家实行预防措施.假如商家实行预防措施政府将嘉奖10万元,假如发觉商家不实行预防措施将处以罚款,而商家不实行措施被查到的概率为,这时,罚款额至少是多少万元才能促使商家实行预防措施? 分析:假设罚款额为x万元,则商家不实行预防措施时总花费的期望为(万元);实行预防措施的总花费的期望为:(万元),要鼓舞商家实行预防措施则必需有:,即,所以(万元).故罚款额多于20万元才能起到鼓舞作用. 例2 电信行业价格竞争的数学模型:假设电信运营商A与B在电信某一领域开放竞争.一开头的价格为,A是老牌企业,实力雄厚,占据绝大部分的市场份额;B刚成立不久.政府为了鼓舞竞争有意扶植B而赐予确定优待,使得B的价格比A低这一举动开头时对A没有产生多大的影响.但B由于有价格优势逐步壮大,到了确定程度对A造成了影响.这时不妨假定:①A维持原价,B也维持原价:A获利5,B获利10;②A降价,B维持原价:A获利15,B损失5;③A维持原价,B降价:A损失10,B获利15;④A降价,B降价:A损失5,B损失5.这时A怎么做? 分析:在未知对方态度的前提下,我们认定概率均等(即某一方降价与不降价的概率各为),A降价的收益数学期望为:,维持原价的收益数学期望为:为了自身利益的最大化,A选择降价!事实上从B看结果也一样,其降价收益为5,维持原价收益为2.5.于是实现了第④种选择,二者各损失5,即消费者集体获益!这就是竞争与垄断的差别! 例3 在商业活动中偷税可非法获益而造成国家财产损失.国家为了防止税收流失,通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款.统计发觉偷税者被查出的概率为0.2,这时罚款额度n至少多大才能起到惩处的作用? 分析:假设偷税额为x,则偷税时商家受益的数学期望为,要使惩处有效,必需使,即.故一旦查出至少应处以3倍以上的罚款,才能起到防止偷税现象发生的作用. 注:我们要养成用数学眼光观看生活中的数学问题的习惯,发觉数学的应用价值,着力培育自己用数学学问解决实际问题的意识.- 配套讲稿:
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