2020年高中数学同步教案:第2章-圆锥曲线-椭圆第一课时(北师大版选修1-1).docx
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椭圆及其标准方程 教学目标: (1) 了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。 (2) 经受从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,把握椭圆的定义、标准方程及简洁几何性质。 (3) 通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想。 教学重点:椭圆的标准方程;坐标法的基本思想。 教学难点:椭圆的标准方程的推导与化简;坐标法的运用。 教学任务分析: (1) 同学已有的主要学问结构 同学已经学习过圆,了解圆的定义,经受了依据圆的特征,建立适当的坐标系,求圆的标准方程的过程。 (2) 建立新的学问结构 与圆类比,弄清椭圆上的点所满足的条件,建立适当的坐标系,求椭圆的标准方程。 回忆圆的定义,与已有的学问联系 小结与布置作业 教学基本流程: 通过作图,提出问题,引入椭圆的定义义 依据条件,确定椭圆的标准方程 教学过程: 问题 设计意图 师生活动 备注 1、回顾圆的定义,让同学用预备好的工具画圆。 同学动手画圆,结合图形,重现思维轨迹,为椭圆的学习作好铺垫。 1.由同学动手试验,并说出圆的定义; 画圆时,绳子一端固定在纸板上,一端栓在笔上同学再次体会笔尖到定点的距离不变的情景。 2.将圆心分开变为两个,绳子两端固定在这两个定点上,用笔勾住绳子,将会画出什么样的曲线呢? 提出新的问题,激发同学的奇异 心,引发学习爱好。 1.师生一起画图,得到一个压扁的“圆”—椭圆; 2.老师演示课件:拱桥、橄榄球、天体的运动轨迹等。 让同学领悟到数学的美,生疏到数学与生活息息相关。 3.在运动中,椭圆上的点所满足的几何条件是什么? 4.应当如何描述动点M所满足的几何条件? 1.弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。 2.让同学体会类比思想,整理试验,归纳抽象成数学问题。 1.引导同学分析试验,发觉两个确定的量—定点及绳长,变动的量—笔尖(即椭圆上的点)。 2.再次演示画椭圆的过程,引导同学发觉规律:椭圆上的点到两个定点的距离之和总是等于绳长。 这里应赐予同学充分思考和争辩的机会,引导他们说出自己的发觉,并逐步修正得到椭圆的定义。 5.将两位同学所画的椭圆投影到大屏幕,并提出问题:在绳长相同的状况下,为什么画出的椭圆有圆有扁呢? 使同同学疏到椭圆的外形受到两定点的距离的影响。 1.老师:转变原有的两定点的距离画椭圆并观看图形,大家有什么发觉? 同学:的距离愈近椭圆愈圆,的距离愈远椭圆愈扁。 6.假如只转变绳长,而不转变的距离,又会毁灭什么结果呢 使同学进一步生疏到椭圆的外形也受到绳长的影响。 老师:假如定点的位置相同,只转变绳长,椭圆又有什么变化? 同学:绳愈短椭圆愈扁,绳愈长椭圆愈圆。 老师:设||=2C,||+||=2a,如何通过a,c刻划椭圆的扁圆程度。 同学:当越小时,椭圆愈圆,当越大时,椭圆越扁。 7.椭圆与两定点位置及定线段长有关,是否给定了线段长和两定点位置就确定能作出椭圆呢? 加深对概念的理解 师生共同探讨,并演示课件,呈现2a>2c,2a=2c,2a<2c三种不怜悯形的轨迹。 同学:当2a>2c时,轨迹是椭圆;当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以为端点的线段;当2a<2c时,无轨迹;当c=0时,轨迹为圆. 写出动点M所满足的几何条件的点的集合:P=M|||+||=2a。 明确椭圆的定义:平面内与两个定点的距离之和等于常数2a(2a大于||)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 8.事实上椭圆在建筑、电子乃至航空航天等领域有着广泛的应用,因此,有必要进一步探求它的性质,争辩它的方程。求曲线方程的步骤是什么?怎样建立适当的坐标系,求椭圆的方程呢? 温旧知新,让同同学疏到适当的坐标系有利于化简,也会使所得的方程比较简洁。 同学回答求曲线方程的步骤,老师引导同学争辩如何建立坐标系。通过分析曲线的特征—对称性,得出以线段的中点为原点,以的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。 事实上,椭圆的美主要体现在均匀对称上,应充分引导同学争辩、发觉这一点。 完成了“建系”,设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么,焦点的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设点M与的距离的和等于常数2a(2a>||)。 由定义可知,椭圆就是集合P=M|||+||=2a。 ||=,||=,+=2a. 能否将上面所得等式两边同时平方?应当如何处理两个根号的位置更有利于化简? 在同学已懂得一个根式化简的状况下,针对具体的问题,寻求解决问题的想法。 请3—4名同学板演方程化简,老师在教室中走动,观看同学的化简状况。 组织同学评价板演状况,使同学明确若将上面等式直接平方,则化简过程繁杂且各项的次数很高;若将两个根式放在等式的两边,平方后可消去x2,y2,c2项简化计算,强调方法的选择。通过投影,将化简的过程呈现给同学。 老师:设||=2c, ||+||=2a,观看图形能否找出a,c,所表示的线段及其关系呢? 结合图形,赐予a,c,以具体的几何意义。 (呈现图形)同学:可以看出a,c是以为底边的等腰三角形的腰及底边的一半。 老师:不妨令a2-c2=b2则方程可简化为b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得,这就是焦点在x轴上椭圆的标准方程。这里a与b的关系如何? 同学:a>b>0. 通过类比,让同学写出焦点在y轴上椭圆的标准方程,并依据方程辨别椭圆的焦点在x轴或y轴上。 老师用总结性的语言引导同学对椭圆方程再生疏: 椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,分母是一个正数,右边是1。 椭圆的三个参数a.b.c满足。 椭圆标准方程中的系数哪个小,焦点就在哪个轴上。 1教材中例1. 2补充练习:已知椭圆的方程为则 (1)a= b= c (2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 ,焦距为 。 (3)若CD为过左焦点F1的弦,则∆CF1F2的周长为 ,∆F2CD的周长为 。 椭圆标准方程的应用。 2位同学板演例1,补充练习由同学口答。 老师:假如将椭圆方程改为=1,上述问题(1)(2)(3)有何变化? 同学:(回答略) 小结: (1)学问方面:总结了椭圆的定义;探讨了椭圆的扁圆;争辩了在a、c的四种不同关系下的曲线轨迹;求出了椭圆的标准方程;了解焦点与方程形式的关系。(以上各学问点可借助课件呈现出来) (2)力气方面:巩固了求曲线方程的步骤与方法,学会用运动变化的观点争辩问题,通过椭圆学问学习进一步体会到数学学问的和谐美,几何图形的对称美。 布置作业:- 配套讲稿:
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