高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-例谈分析法在解题中的应用.docx

例谈分析法在解题中的应用
分析法是数学中常用到的一种直接证明的方法，从推理的程序上来讲，它是一种从未知到已知（从结论到题设）的规律推理方法，具体说，就是先假定问题的结论成立，再利用公理、定义、定理和公式，经过正确的、严谨的一步步地推理，最终得到一个明显成立的关系，即已证的命题或题设的已知条件，从而判定问题的结论成立。分析法的应用较广，通常在几何、三角、不等式的证明中经常接受。举例说明。
例1下面是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论。
命题：若。
解：此命题是真命题。
由于，
。
要证成立，只要证，
即证，也就是证，
即证
由于
所以成立。
故原不等式成立。
评注：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A，则先证明B；若要证明B，则先证明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得留意的是，在证明过程中从一个命题推到下一个命题时，必需留意它们之间的等效性。

例2求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大。
证明：设圆正方形的周长为，则圆的面积为，正方形的面积为。
因此，本题只须证明：。
为了证明上式成立，只须证明：，
两边同乘以正数，得。
因此，只须证明。
由于上式是成立的，所以。
这就证明白假如一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大。
例3已知，且
①
②
求证：。
证明：由于,
所以将①、②两式代入上式，得： ③
另一方面，要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
由于上式与③式相同，于是问题得证。