人教版初中数学七年级下-相交线和平行线知识点总结知识分享.doc

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人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系，研究了两条直线相交时的形成的角的特征，两条直线互相垂直所具有的特性，两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质，利用平移设计一些优美的图案.。重点：垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质，平移和它的性质，以及这些的组织运用.

5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2

∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3

∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
A
B
C
D
O
符号语言记作：
如图所示：AB⊥CD，垂足为O

⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
P
A
B
O

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
5.2平行线

1、平行线的概念：同一平面内两条直线的位置关系有两种1相交2平行
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。
平行线的画法 方法为 一“放”三角板的一边落在已知直线上 二“靠”用直尺紧靠三角板的另一边 三“移”沿直尺移动三角板直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点 四“画”沿三角板过已知点的边画直线
2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵∥，∥
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∥
　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
5、三线八角

1
2
3
4
5
6
7
8
　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
　如图，直线被直线所截
　①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，
叫做同位角（位置相同）
　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
　④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

6、如何判别三线八角
　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
6
B
A
D
2
3
4

5
7
8
9
F
E
C
　例如：

1

　如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。
　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。
　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。
A
B
C
1
7
A
B
F
2
1

A
B
C
D
2
6
A
D
B
F
1

B
A
F
E
5
8
C

注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。

7、两直线平行的判定方法
方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　简称：同位角相等，两直线平行
方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　简称：内错角相等，两直线平行
方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
　　　　简称：同旁内角互补，两直线平行

　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2
　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2
　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°
　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。

注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
　⑴不相交的两条直线必定平行线。
　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。
　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。
　　　⑵正确
　　　⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。
典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？
A
B
E
D
F
C
1
2
3

解答：⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；
　　　⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；
　　　⑶由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行。

　　　　　　　　　5.3平行线的性质
1、平行线的性质：
　性质1：两直线平行，同位角相等；
　性质2：两直线平行，内错角相等；
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
　性质3：两直线平行，同旁内角互补。

　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
2、两条平行线的距离
　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
A
E
G
B
C
F
H
D

　注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

3、命题：
⑴命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题。
⑵命题的组成

每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
　有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。
注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
　两直线平行　　　　　同位角相等；
　两直线平行　　　　　内错角相等；
　两直线平行　　　　　同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。

A
D
E
B
C
1
2
典型例题：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C

　　证明：∵∠1＝∠B（已知）
　　　　　∴DE∥BC（同位角相等，
　　　　　　　　　　两直线平行）
　　　　　∴∠2＝∠C（两直线平行
　　　　　　　　　　同位角相等）
注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。

典型例题：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°
A
D
F
B
E
C
1
2
3
　　　　　求∠2、∠3的度数

解答：∵DE∥BC（已知）
　　　∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）
　　　∵AB∥DF（已知）
　　　∴AB∥DF（已知）
　　　∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
　　　∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

5.4平移
1、平移变换
　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
　③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征：
　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

A
D
B
E
C
F
典型例题：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：
⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿。

⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；
⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿。
　　⑺＿＿＿＿的对应角是∠F。
解答：
　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。
思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。

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