人教版初中数学七年级下-相交线和平行线知识点总结教学文案.doc
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学习资料 人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表: 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 4 3 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。 ∠3+∠4=180° 注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角; ⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。 2、垂线 A B C D O ⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。 符号语言记作: 如图所示:AB⊥CD,垂足为O ⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。 3、垂线的画法: ⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。 画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 P A B O 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。 联系:具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。 联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。 5.2平行线 1、平行线的概念:同一平面内两条直线的位置关系有两种1相交2平行 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线与直线互相平行,记作∥。 平行线的画法 方法为 一“放”三角板的一边落在已知直线上 二“靠”用直尺紧靠三角板的另一边 三“移”沿直尺移动三角板直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点 四“画”沿三角板过已知点的边画直线 2、两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线) 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定: ①有且只有一个公共点,两直线相交; ②无公共点,则两直线平行; ③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线) 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论: 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 如左图所示,∵∥,∥ ∴∥ 注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线, 才会结论,这两条直线都平行。 5、三线八角 1 2 3 4 5 6 7 8 两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。 如图,直线被直线所截 ①∠1与∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方, 叫做同位角(位置相同) ②∠5与∠3在截线的两旁(交错),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交错) ③∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角。 ④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。 6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。 例如: 6 B A D 2 3 4 5 7 8 9 F E C 1 如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。 我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。 如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。 A B C 1 7 A B F 2 1 A B C D 2 6 A D B F 1 B A F E 5 8 C 注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗? 不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。 7、两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称:同位角相等,两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 简称:内错角相等,两直线平行 方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 A B C D E F 1 2 3 4 简称:同旁内角互补,两直线平行 几何符号语言: ∵ ∠3=∠2 ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行) ∵ ∠1=∠2 ∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠4+∠2=180° ∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行) 请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。 注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。 ⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。 典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正: ⑴不相交的两条直线必定平行线。 ⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。 ⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解答:⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏。 ⑵正确 ⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。 典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么? A B E D F C 1 2 3 解答:⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行; ⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行; ⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。 5.3平行线的性质 1、平行线的性质: 性质1:两直线平行,同位角相等; 性质2:两直线平行,内错角相等; A B C D E F 1 2 3 4 性质3:两直线平行,同旁内角互补。 几何符号语言: ∵AB∥CD ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等) ∵AB∥CD ∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补) 2、两条平行线的距离 如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。 A E G B C F H D 注意:直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。 3、命题: ⑴命题的概念: 判断一件事情的语句,叫做命题。 ⑵命题的组成 每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……,那么……”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。 有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。 注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。 4、平行线的性质与判定 ①平行线的性质与判定是互逆的关系 两直线平行 同位角相等; 两直线平行 内错角相等; 两直线平行 同旁内角互补。 其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。 A D E B C 1 2 典型例题:已知∠1=∠B,求证:∠2=∠C 证明:∵∠1=∠B(已知) ∴DE∥BC(同位角相等, 两直线平行) ∴∠2=∠C(两直线平行 同位角相等) 注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。 A D F B E C 1 2 3 典型例题:如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65° 求∠2、∠3的度数 解答:∵DE∥BC(已知) ∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥DF(已知) ∴AB∥DF(已知) ∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115° 5.4平移 1、平移变换 ①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。 ②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征: ①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。 A D B E C F ②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。 典型例题:如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,那么: ⑴点A的对应点是点_________;⑵点B的对应点是点______。 ⑶点_____的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段_______; ⑸线段BC的对应线段是线段_______;⑹∠A的对应角是______。 ⑺____的对应角是∠F。 解答: ⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB。 思维方式:利用平移特征:平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答。 各种学习资料,仅供学习与交流- 配套讲稿:
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