【三维设计】2022年高考物理一轮复习四川专版-第六章-静电场.docx

第六章 静　电　场
[备考指南]
考 点
内 容
要求
考点
内 容
要求
一、电场力的性质
物质的电结构、电荷守恒
Ⅰ
二、电场能的性质
电势能、电势
Ⅰ
静电现象的解释
Ⅰ
电势差
Ⅱ
点电荷
Ⅰ
三、电容器　带电粒子在电场中的运动
匀强电场中电势差与电场强度的关系
Ⅰ
库仑定律
Ⅱ
带电粒子在匀强电场中的运动
Ⅱ
静电场
Ⅰ
示波管
Ⅰ
电场强度、点电荷的电场强度
Ⅱ
常见电容器
Ⅰ
电场线
Ⅰ
电容器的电压、电荷量和电容的关系
Ⅰ
把握考情
找 规 律：高考对本章学问的考查主要以选择、计算为主，主要考点有：(1)电场的基本概念和规律；(2)牛顿运动定律、动能定理及功能关系在静电场中的综合应用问题；(3)带电粒子在电场中的加速、偏转等问题。
明 热 点：估量2022年的高考中，对本章学问的考查仍将是热点之一，主要以选择题的方式考查静电场的基本学问，以综合题的方式考查静电场学问与其他学问的综合应用。
第1节电场力的性质_

(1)任何带电体所带的电荷量都是元电荷的整数倍。(√)
(2)相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小确定相等。(√)
(3)依据F＝k，当r→0时，F→∞。(×)
(4)电场强度反映了电场力的性质，所以电场中某点的电场强度与摸索电荷在该点所受的电场力成正比。(×)
(5)电场中某点的电场强度方向即为正电荷在该点所受的电场力的方向。(√)
(6)在真空中，电场强度的表达式E＝中的Q就是产生电场的点电荷。(√)
(7)在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。(×)
(8)电场线的方向即为带电粒子的运动方向。(×)

(1)1785年法国物理学家库仑利用扭秤试验发觉了电荷之间的相互作用规律——库仑定律。
(2)1837年，英国物理学家法拉第最早引入了电场概念，并提出用电场线表示电场。
(3)1913年，美国物理学家密立根通过油滴试验精确测定了元电荷e的电荷量，获得诺贝尔奖。

要点一　库仑定律的理解与应用
1．库仑定律适用条件的三点理解
(1)对于两个均匀带电绝缘球体，可以将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离。
(2)对于两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布。
(3)库仑力在r＝10－15～10－9 m的范围内均有效，但不能依据公式错误地推论：当r→0时，F→∞。其实，在这样的条件下，两个带电体已经不能再看成点电荷了。
2．应用库仑定律的四条提示
(1)在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电量的确定值计算库仑力的大小。
(2)作用力的方向推断依据：同性相斥，异性相吸，作用力的方向沿两电荷连线方向。
(3)两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
(4)库仑力存在极大值，由公式F＝k可以看出，在两带电体的间距及电量之和确定的条件下，当q1＝q2时，F最大。
[多角练通]
1．(2021·金陵中学模拟)如图6­1­1所示，半径相同的两个金属球A、B带有相等的电荷量，相隔确定距离，两球之间相互吸引ss力的大小是F。今让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移开。这时，A、B两球之间的相互作用力的大小是(　　)

图6­1­1
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A　A、B两球相互吸引，说明它们必带异种电荷，设它们带的电荷量分别为＋q、－q。当第三个不带电的C球与A球接触后，A、C两球带电荷量平分，每个球带电荷量为q1＝＋，当再把C球与B球接触后，两球的电荷先中和再平分，每球带电荷量q2＝－。由库仑定律F＝k知，当移开C球后，A、B两球之间的相互作用力的大小变为F′＝，A项正确。
2.如图6­1­2所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，壳层的厚度和质量分布均匀，将它们分别固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l，为球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，两球电荷量的确定值均为Q，那么，a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为(　　)

图6­1­2
A．F引＝G，F库＝k　 B．F引≠G，F库≠k
C．F引≠G，F库＝k D．F引＝G，F库≠k
解析：选D　万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然两球心间的距离l只有半径的3倍，但由于壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看做质量集中于球心的质点。因此，可以应用万有引力定律。对于a、b两带电球壳，由于两球心间的距离l只有半径的3倍，表面的电荷分布并不均匀，不能把两球壳看成相距l的点电荷，故D正确。
要点二　库仑力作用下的平衡问题
1．解决库仑力作用下平衡问题的方法步骤
库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了电场力。具体步骤如下：

2．“三个自由点电荷平衡”的问题
(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
(2)

[典例]　(多选)(2022·浙江高考)如图6­1­3所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m、电量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则(　　)

图6­1­3
A．小球A与B之间库仑力的大小为
B．当＝ 时，细线上的拉力为0
C．当＝ 时，细线上的拉力为0
D．当＝ 时，斜面对小球A的支持力为0
[解析]　依据库仑定律可得两小球之间的库仑力大小为F＝，选项A正确；当细线上的拉力为0时，小球A受到库仑力、斜面支持力、重力，由平衡条件得＝mgtan θ，解得＝ ，选项B错误，C正确；由受力分析可知，斜面对小球的支持力不行能为0，选项D错误。
[答案]　AC
[方法规律]
库仑力作用下的平衡问题，高考中多以选择题的形式毁灭，关键是做好受力分析与平衡条件的应用，把库仑力当成一个一般力，通过合成法或正交分解法解决此类问题。
[针对训练]
1．(2021·全国卷Ⅱ)如图6­1­4，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上：a、b带正电，电荷量均为q，c带负电。整个系统置于方向水平的匀强电场中。已知静电力常量为k。若三个小球均处于静止状态，则匀强电场电场强度的大小为(　　)

图6­1­4
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
解析：选B　以小球c为争辩对象，其受力如图甲所示，其中F库＝，由平衡条件得：2F库cos 30°＝Eqc。

即：＝Eqc，E＝
此时a的受力如图乙所示，2＋2＝2
得qc＝2q
即当qc＝2q时a可处于平衡状态，同理b亦恰好平衡，故选项B正确。
2．如图6­1­5所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)

图6­1­5
A．正，B的右边0.4 m处　 B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处
解析：选C　要使三个电荷均处于平衡状态，必需满足“两同夹异”“两大夹小”的原则，所以选项C正确。
3．(2021·湖南怀化调研)如图6­1­6所示，A、B两小球带等量同号电荷，A固定在竖直放置的L＝10 cm长的绝缘支柱上，B受A的斥力作用静止于光滑的绝缘斜面上与A等高处，斜面倾角为θ＝30°，B的质量为m＝10×10－3 kg。求：

图6­1­6
(1)B球对斜面的压力大小。
(2)B球带的电荷量大小(g取10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，结果保留两位有效数字)。
解析：(1)令B球对斜面的支持力为FN，带的电荷量Q，A、B相距r。
对B球受力分析如图所示。

FNcos θ＝mg，①
得FN＝0.20 N。
据牛顿第三定律得B球对斜面的压力
FN′＝0.20 N。
(2)两小球之间的库仑力F＝k，
F＝mgtan θ，②
又L＝rtan θ，③
代入数据联立解得：
Q＝L ＝×10－6C≈5.8×10－7 C。
答案：(1)0.2 N
(2)5.8×10－7 C
要点三　电场强度的叠加问题
1．电场强度三个表达式的比较

E＝
E＝k
E＝
公式意义
电场强度定义式
真空中点电荷电场强度的打算式
匀强电场中E与U的关系式
适用条件
一切电场
①真空
②点电荷
匀强电场
打算因素
由电场本身打算，与q无关
由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同打算
由电场本身打算，d为沿电场方向的距离
相同点
矢量，遵守平行四边形定则
单位：1 N/C＝1 V/m
2．电场强度的叠加
(1)叠加原理：多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
(2)运算法则：平行四边形定则。
3．计算电场强度常用的五种方法
(1)电场叠加合成的方法。(2)平衡条件求解法。(3)对称法。(4)补偿法。(5)等效法。
[典例]　(2021·全国卷Ⅰ)如图6­1­7，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、 b、d三个点，a和b、b和c、 c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q＞0)的固定点电荷。已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为(k为静电力常量)(　　)

图6­1­7
A．k　　　　　　　 B．k
C．k D．k
[解析]　由于在a点放置一点电荷q后，b点电场强度为零，说明点电荷q在b点产生的电场强度与圆盘上Q在b点产生的电场强度大小相等，即EQ＝Eq＝k，依据对称性可知Q在d点产生的电场强度大小EQ′＝k，则Ed＝EQ′＋Eq′＝k＋k＝k，故选项B正确。
[答案]　B
[方法规律]　电场强度叠加问题的求解思路
电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定分析计算的空间位置；
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)依次利用平行四边形定则求出矢量和。
[针对训练]
1．(2021·安徽高考)如图6­1­8所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体布满z<0的空间，z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z＝h处，则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零，则在z轴上z＝处的电场强度大小为(k为静电力常量)(　　)

图6­1­8
A．k　　　　　　　　 B．k
C．k D．k
解析：选D　点电荷q和感应电荷所形成的电场在z>0的区域可等效成关于O点对称的等量异种电荷所形成的电场。所以z轴上z＝处的电场强度E＝k＋k＝k，选项D正确。
2．(2021·江苏高考)下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图6­1­9中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是(　　)

图6­1­9
解析：选B　依据对称性和矢量叠加，D项O点的电场强度为零，C项等效为其次象限内电荷在O点产生的电场，大小与A项的相等，B项正、负电荷在O点产生的电场强度大小相等，方向相互垂直，合电场强度是其中一个的倍，也是A、C项电场强度的倍，因此B项正确。
3．(2022·安徽高考)如图6­1­10甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ，方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示。则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为(　　)

图6­1­10
A．2πkσ0 B．2πkσ0
C．2πkσ0 D．2πkσ0
解析：选A　利用均匀带电圆板轴线上的电场强度公式，当R无限大时，Q点电场强度E1＝2πkσ0，当R＝r时，Q点电场强度E2＝2πkσ0[1－]，现从带电平板上中间挖去一半径为r的圆板，则Q点电场强度E3＝E1－E2，选项A正确。
4．如图6­1­11所示，位于正方形四个顶点处分别固定有点电荷A、B、C、D，四个点电荷的带电量均为q，其中点电荷A、C带正电，点电荷B、D带负电，试确定过正方形中心O并与正方形垂直的直线上到O点距离为x的P点处的电场强度的大小和方向。

图6­1­11
解析：四个点电荷各拘束P点的电场强度EA、EB、EC、ED如图所示，依据对称性可知，EA、EC的合电场强度E1沿OP向外，EB、ED的合电场强度E2沿OP指向O，由对称性可知，E1、E2大小相等，所以P点的电场强度为零。

答案：电场强度为零
要点四　电场线的理解与应用
1．电场线的三个特点
(1)电场线从正电荷或无限远处动身，终止于无限远或负电荷处；
(2)电场线在电场中不相交；
(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
2．六种典型电场的电场线

图6­1­12
3．两种等量点电荷的电场
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
连线上的电场强度
沿连线先变小后变大，中点O处电场强度最小
中垂线上的电场强度
O点最大，向外渐渐减小
O点为零，向外先变大后变小

4．电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的关系
一般状况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合。
(1)电场线为直线；
(2)带电粒子初速度为零，或速度方向与电场线平行；
(3)带电粒子仅受电场力或所受其他力的合力方向与电场线平行。
[典例]　如图6­1­13所示，Q1和Q2是两个电荷量大小相等的点电荷，MN是两电荷的连线，HG是两电荷连线的中垂线，O是垂足。下列说法正确的是(　　)

图6­1­13
A．若两电荷是异种电荷，则OM的中点与ON的中点电势确定相等
B．若两电荷是异种电荷，则O点的电场强度大小，与MN上各点相比是最小的，而与HG上各点相比是最大的
C．若两电荷是同种电荷，则OM中点与ON中点处的电场强度确定相同
D．若两电荷是同种电荷，则O点的电场强度大小，与MN上各点相比是最小的，与HG上各点相比是最大的
[解析]　若两电荷是异种电荷，则OM的中点与ON的中点电势确定不相等，选项A错误。若两电荷是异种电荷，依据两异种电荷电场特点可知，O点的电场强度大小，与MN上各点相比是最小的，而与HG上各点相比是最大的，选项B正确。若两电荷是同种电荷，则OM中点与ON中点处的电场强度大小确定相同，方向确定相反，选项C错误。若两电荷是同种电荷，则O点的电场强度为零，与MN上各点相比是最小的，与HG上各点相比也是最小的，选项D错误。
[答案]　B
[方法规律]

[针对训练]
1．(2021·宜宾一诊)在如图6­1­14所示的电场中，一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，则它运动的v ­t图像可能是图6­1­15中的(　　)

图6­1­14

图6­1­15
解析：选B　负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，所受电场力渐渐增大，加速度渐渐增大，则它运动的v ­t图像可能是图中的B。
2.带有等量异种电荷的一对平行金属板，假如两极板间距不是足够近或者两极板面积不是足够大，即使在两极板之间，它的电场线也不是彼此平行的直线，而是如图6­1­16所示的曲线，关于这种电场，以下说法正确的是(　　)

图6­1­16
A．这种电场的电场线虽然是曲线，但是电场线的分布却是左右对称的，很有规律性，它们之间的电场，除边缘部格外，可以看做匀强电场
B．电场内部A点的电场强度小于B点的电场强度
C．电场内部A点的电场强度等于B点的电场强度
D．若将一正电荷从电场中的A点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板
解析：选D　由于平行金属板形成的电场的电场线不是等间距的平行直线，所以不是匀强电场，选项A错误。从电场线分布看，A处的电场线比B处密，所以A点的电场强度大于B点的电场强度，选项B、C错误。A、B两点所在的电场线为一条直线，电荷受力方向沿着这条直线，所以若将一正电荷从电场中的A 点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板，选项D正确。
3．某区域的电场线分布如图6­1­17所示，其中间一根电场线是直线，一带正电的粒子从直线上的O点由静止开头在电场力作用下运动到A点。取O点为坐标原点，沿直线向右为x轴正方向，粒子的重力忽视不计。在O到A运动过程中，下列关于粒子运动速度v和加速度a随时间t的变化、粒子的动能Ek和运动径迹上电势φ随位移x的变化图线可能正确的是(　　)

图6­1­17

图6­1­18
解析：选B　沿OA方向的电场强度先减小后增大，粒子运动的加速度a随时间t的变化为先减小后增大，粒子运动速度v随时间t的变化图像斜领先减小后增大，图像A错误B正确。依据电势图像斜率表示电场强度可知，运动径迹上电势φ随位移x的变化图线的斜率应当为先减小后增大，图像C错误。由动能定理，粒子的动能Ek 随位移x的变化图线斜率与电场强度成正比，粒子的动能Ek随位移x的变化图线的斜率应当为先减小后增大，图像D错误。
要点五　带电体的力电综合应用
解决力电综合问题的一般思路

[典例]　如图6­1­19所示，一根长为L＝1.5 m的光滑绝缘细直杆MN竖直固定在电场强度大小为E＝1.0×105 N/C、与水平方向成θ＝30°角的斜向上的匀强电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，带电荷量为Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，带电荷量为q＝＋1.0×10－6 C，质量为m＝1.0×10－2 kg。现将小球B从杆的N端由静止释放，小球B开头运动。(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，g＝10 m/s2)

图6­1­19
(1)求小球B开头运动时的加速度a；
(2)当小球B的速度最大时，求小球距M端的高度h1；
(3)若小球B从N端运动到距M端的高度为h2＝0.61 m时，速度v＝1.0 m/s，求此过程中小球B电势能的转变量ΔEp。
[思路点拨]
(1)试画出小球B运动前的受力示意图。
提示：

(2)试描述B球的运动情景。
提示：B球释放后先向下加速运动，然后向下减速运动，速度最大时，所受合力为零，加速度为零。
(3)第(1)问求加速度a时，应对B球在N位置时利用牛顿其次定律求解；小球速度最大时，a＝0，要利用平衡条件求解；电势能的变化对应电场力做功，应通过动能定理求解。
[解析]　(1)开头运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆向下运动，由牛顿其次定律得
mg－－qEsin θ＝ma
解得a＝3.2 m/s2，方向竖直向下。
(2)小球B速度最大时受到的合力为零，
即＋qEsin θ＝mg
代入数据得h1＝0.9 m。
(3)小球B在从开头运动到速度为v的过程中，设重力做功为W1，电场力做功为W2，库仑力做功为W3，则依据动能定理得W1＋W2＋W3＝mv2
W1＝mg(L－h2)
又由功能关系知ΔEp＝|W2＋W3|
代入数据得ΔEp＝8.4×10－2 J。
[答案]　(1)3.2 m/s2，竖直向下　(2)0.9 m　(3)8.4×10－2 J
[针对训练]
1．(多选)如图6­1­20所示，在竖直平面内，带等量同种电荷的小球A、B，带电荷量为－q(q＞0)，质量都为m，小球可当作质点处理。现固定B球，在B球正上方足够高的地方由静止释放A球，则从释放A球开头到A球运动到最低点的过程中(　　)

图6­1­20
A．小球A的动能不断增大
B．小球A的加速度不断减小
C．小球A的机械能不断减小
D．小球A的电势能不断增大
解析：选CD　释放A球后，由牛顿其次定律有mg－k＝ma，可知小球A先做加速度减小的加速运动，当mg＝k时，小球A加速度减为零，此后小球A做加速度增大的减速运动，选项A、B错误；小球A下降过程中，电场力始终做负功，小球A的机械能不断减小，电势能不断增大，选项C、D正确。
2．(2021·安徽省江淮十校联考)如图6­1­21所示，一带正电的长细直棒水平放置，带电细直棒在其四周产生方向向外辐射状的电场，电场强度大小与直棒的距离成反比。在直棒上方有一长为a的绝缘细线连接了两个质量均为m的小球A、B，A、B所带电荷量分别为＋q和＋4q，A球距直棒的距离为a，两个球恰好处于静止状态。不计两小球之间的静电力作用，剪断细线，若A球下落的最大速度为vm，求A球下落到速度最大过程中，电场力对A球做的功。

图6­1­21
解析：设电场强度E＝
对AB整体：q＋4q＝2mg
得k＝
当A下落速度最大时：q＝mg
代入k得r＝a
对A下落过程：mg(a－r)＋W＝mvm2－0
得W＝mvm2－。
答案：mvm2－

对点训练：库仑定律的理解与应用
1.(2021·北京西城质检)如图1所示，两个电荷量均为＋q的小球用长为l的轻质绝缘细绳连接，静止在光滑的绝缘水平面上。两个小球的半径r≪l。k表示静电力常量。则轻绳的张力大小为(　　)

图1
A．0　　　　　　　　　　 B．
C．2 D．
解析：选B　轻绳的张力大小等于两个带电小球之间的库仑力，由库仑定律得F＝，选项B正确。
2．(2022·上海高考)A、B、C三点在同始终线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，它所受到的电场力为F；移去A处电荷，在C处放电荷量为－2q的点电荷，其所受电场力为(　　)
A．－ B．
C．－F D．F
解析：选B　设A处电场强度为E，则F＝qE；由点电荷的电场强度公式可知，C处的电场强度为，在C处放电荷量为－2q的点电荷，其所受电场力为F′＝－2q·＝，选项B正确。
对点训练：库仑力作用下的平衡问题
3．绝缘细线的一端与一带正电的小球M相连接，另一端固定在天花板上，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在下列状况下，小球M能处于静止状态的是(　　)

图2
解析：选B　M受到三个力的作用处于平衡状态，则绝缘细线对小球M的拉力与小球N对小球M的库仑力的合力必与M的重力大小相等，方向相反，其受力分析图如图所示，故B正确。
4．(多选)(2021·武汉调研)如图3所示，在光滑绝缘的水平桌面上有四个小球，带电量分别为－q、Q、－q、Q。四个小球构成一个菱形，－q、－q的连线与－q、Q的连线之间的夹角为α。若此系统处于平衡状态，则正确的关系式可能是(　　)

图3
A．cos3α＝　　　　　 B．cos3α＝
C．sin3α＝ D．sin3α＝
解析：选AC　设菱形边长为a，则两个Q之间距离为 2asin α，则两个q之间距离为2acos α。选取－q作为争辩对象，由库仑定律和平衡条件得2kcos α＝k ，解得cos3α＝，故A正确，B错误；选取Q作为争辩对象，由库仑定律和平衡条件得2ksin α＝k，解得sin3 α＝，故C正确，D错误。
对点训练：电场强度的叠加问题
5．如图4所示，在水平向右、大小为E的匀强电场中，在O点固定一电荷量为Q的正电荷，A、B、C、D为以O为圆心、半径为r的同一圆周上的四点，B、D连线与电场线平行，A、C连线与电场线垂直。则(　　)

图4
A．A点的电场强度大小为
B．B点的电场强度大小为E－k
C．D点的电场强度大小不行能为0
D．A、C两点的电场强度相同
解析：选A　＋Q在A点的电场强度沿OA方向，大小为k，所以A点的合电场强度大小为，A正确；同理，B点的电场强度大小为E＋k，B错误；假如E＝k，则D点的电场强度为0，C错误；A、C两点的电场强度大小相等，但方向不同，D错误。
6.(2021·河北省唐山一模)如图5所示，匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形。电场强度的方向与纸面平行。电子以某一初速度仅在静电力作用下从B移动到A动能削减E0，质子仅在静电力作用下从C移动到A动能增加E0，已知电子和质子电荷量确定值均为e，则匀强电场的电场强度为(　　)

图5
A． B．
C． D．
解析：选D　依据题述，BC在一等势面上，匀强电场的方向垂直于BC指向A。由eEasin 60°＝E0，解得：E＝，选项D正确。
7.如图6所示，以o为圆心的圆周上有六个等分点a、b、c、d、e、f。等量正、负点电荷分别放置在a、d两处时，在圆心o处产生的电场强度大小为E。现转变a处点电荷的位置，使o点的电场强度转变，下列叙述正确的是(　　)

图6
A．移至c处，o处的电场强度大小不变，方向沿oe
B．移至b处，o处的电场强度大小减半，方向沿od
C．移至e处，o处的电场强度大小减半，方向沿oc
D．移至f处，o处的电场强度大小不变，方向沿oe
解析：选C　放置在a、d两处的等量正、负点电荷在圆心o处产生的电场强度方向相同，每个电荷在圆心o处产生的电场强度大小为。依据电场强度叠加原理，a处正电荷移至c处，o处的电场强度大小为，方向沿oe，选项A错误；a处正电荷移至b处，o处的电场强度大小为2··cos 30°＝E，方向沿∠eod的角平分线，选项B错误；a处正电荷移至e处，o处的电场强度大小为，方向沿oc，选项C正确；a处正电荷移至f处，o处的电场强度大小为2··cos 30°＝E，方向沿∠cod的角平分线，选项D错误。
对点训练：电场线的理解与应用
8．在如图7所示的四种电场中，分别标记有a、b两点。其中a、b两点电场强度大小相等、方向相反的是(　　)

图7
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中非匀强电场中的a、b两点
解析：选C　甲图中与点电荷等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向不相反，选项A错误；对乙图，依据电场线的疏密及对称性可推断，a、b两点的电场强度大小相等、方向相同，选项B错误；丙图中两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点，电场强度大小相同，方向相反，选项C正确；对丁图，依据电场线的疏密可推断，b点的电场强度大于a点的电场强度，选项D错误。
9．(2021·渭南质检)两个带电荷量分别为Q1、Q2的质点四周的电场线如图8所示，由图可知(　　)

图8
A．两质点带异号电荷，且Q1>Q2
B．两质点带异号电荷，且Q1<Q2
C．两质点带同号电荷，且Q1>Q2
D．两质点带同号电荷，且Q1<Q2
解析：选A　由图可知，电场线起于Q1，止于Q2，故Q1带正电，Q2带负电，两质点带异号电荷，在Q1四周电场线比Q2四周电场线密，故Q1>Q2，选项A正确。
10．(多选)如图9所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a和c关于MN对称，b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上。以下推断正确的是(　　)

图9
A．b点电场强度大于d点电场强度
B．b点电场强度小于d点电场强度
C．a、b两点间的电势差等于b、c两点间的电势差
D．摸索电荷＋q在a点的电势能小于在c点的电势能
解析：选BC　依据等量异种点电荷产生的电场的电场线分布状况和由电场线的疏密表示电场强度大小可知Ed＞Eb。故选项A错误，B正确。a、c两点关于MN对称，故Uab＝Ubc，选项C正确。沿电场线方向电势降低，所以φa＞φc，由Ep＝qφ可知Epa＞Epc，故选项D错误。
考点综合训练
11．(2021·洛阳模拟)如图10所示，均可视为质点的三个物体A、B、C在倾角为30°的光滑斜面上，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，质量分别为mA＝0.43 kg，mB＝0.20 kg，mC＝0.50 kg，其中A不带电，B、C的电量分别为qB＝＋2×10－5 C、qC＝＋7×10－5 C且保持不变，开头时三个物体均能保持静止。现给A施加一平行于斜面对上的力F，使A做加速度a＝2.0 m/s2的匀加速直线运动，经过时间t，力F变为恒力。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，g取10 m/s2。求：

图10
(1)开头时BC间的距离L；
(2)F从变力到恒力需要的时间t；
(3)在时间t内，力F做功WF＝2.31 J，求系统电势能的变化量ΔEp。
解析：(1)ABC静止时，以AB为争辩对象有：
(mA＋mB)gsin 30°＝
解得：L＝2.0 m。
(2)给A施加力F后，AB沿斜面对上做匀加速运动，AB分别时两者之间弹力恰好为零，对B用牛顿其次定律得：
－mBgsin 30°＝mBa
解得：l＝3.0 m
有匀加速运动规律得：
l－L＝at2
解得：t＝1.0 s。
(3)AB分别时两者仍有相同的速度，在时间t内对AB用动能定理得：
WF－(mA＋mB)g(l－L)sin 30°＋WC＝(mA＋mB)v2
及：v＝at
得：WC＝2.1 J
所以系统电势能的变化量ΔEp＝－2.1 J。
答案：(1)2.0 m　(2)1.0 s　(3)－2.1 J
12．(2021·四川资阳二诊)如图11所示，足够长斜面倾角θ＝30°，斜面上A点上方光滑，A点下方粗糙，μ＝，光滑水平面上B点左侧有水平向右的匀强电场E＝105 V/m，可视为质点的小物体C、D质量分别为mC＝4 kg，mD＝1 kg，D带电q＝3×10－4 C，用细线通过光滑滑轮连在一起，分别放在斜面及水平面上的P和Q点由静止释放，B、Q间距离d＝1 m，A、P间距离为2d。取g＝10 m/s2，求：

图11
(1)物体C第一次运动到A点时的速度v0；
(2)物体C第一次经过A到其次次经过A的时间t。
解析：(1)由题知释放后C物体将沿斜面下滑，C物体从P到A过程，对C、D系统由动能定理：
mCg·2dsin θ－Eq·d＝(mC＋mD)v02①
解①得：v0＝2 m/s。②
(2)由题意，C经过A点后将减速下滑至速度为0后又加速上滑，设向下运动的时间为t1，其加速度大小为a1，发生的位移为x1，对物体C：
T1＋μmCgcos θ－mCgsin θ＝mCa1 ③
t1＝④
x1＝⑤
对物体D：Eq－T1＝mDa1⑥
设物体C在加速上滑到A的过程中，加速度大小为a2，时间为t2，对物体C：
T2－μmCgcos θ－mCgsin θ＝mCa2⑦
对物体D：Eq－T2＝mDa2⑧
x1＝a2t22⑨
t＝t1＋t2⑩
联立③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩解得：
t＝s≈1.82 s。⑪
答案：(1)2 m/s　(2)1.82 s
第2节电场能的性质

,
(1)电场力做功与重力做功相像，均与路径无关。(√)
(2)电场中电场强度为零的地方电势确定为零。(×)
(3)沿电场线方向电场强度越来越小，电势渐渐降低。(×)
(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A移到B点时静电力所做的功。(×)
(5)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。(×)
(6)电场线越密集的地方，等差等势线也越密集。(√)

要点一　电势凹凸与电势能大小的推断
1．电势凹凸的推断
推断角度
推断方法
依据电场
线方向
沿电场线方向电势渐渐降低
依据场源电
荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷四周电势为正值，负电荷四周电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
依据电场
力做功
依据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负推断φA、φB的凹凸
依据电势
能的凹凸
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大

2．电势能大小的推断
推断角度
推断方法
做功推断法
电场力做正功，电势能减小
电场力做负功，电势能增加
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大
负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的确定值越大，电势能越大；负Ep的确定值越大，电势能越小
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
[多角练通]
1．(2022·江苏高考)如图6­2­1所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x轴垂直于环面且过圆心O。下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是(　　)

图6­2­1
A．O点的电场强度为零，电势最低
B．O点的电场强度为零，电势最高
C．从O点沿x轴正方向，电场强度减小，电势上升
D．从O点沿x轴正方向，电场强度增大，电势降低
解析：选B　圆环上均匀分布着正电荷，可以将圆环等效为很多正点电荷的组成，同一条直径的两端点的点电荷的合电场强度类似于两个等量同种点电荷的合电场强度，故圆环的中心的合电场强度确定为零。x轴上的合电场强度，在圆环的右侧的合电场强度沿x轴向右，左侧的合电场强度沿x轴向左，电场强度都呈现先增大后减小的特征，由沿电场强度方向的电势降低，得O点的电势最高。综上知选项B正确。
2．(多选)(2021·山东高考)如图6­2­2所示，在x轴上相距为L的两点固定两个等量异种点电荷＋Q、－Q，虚线是以＋Q所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称。下列推断正确的是(　　)

图6­2­2
A．b、d两点处的电势相同
B．四个点中c点处的电势最低
C．b、d两点处的电场强度相同
D．将一摸索电荷＋q沿圆周由a点移至c点，＋q的电势能减小
解析：选ABD　由等量异种点电荷的电场线分布及等势面特点知，A、B正确，C错误。四点中a点电势最高、c点电势最低，正电荷在电势越低处电势能越小，故D正确。
3．(多选)如图6­2­3所示，有一对等量异种电荷分别位于空间中的a点和f点，以a点和f点为顶点作一正立方体。现在各顶点间移动一摸索电荷，关于摸索电荷受电场力和具有的电势能，以下推断正确的是(　　)

图6­2­3
A．在b点和d点受力大小相等，方向不同
B．在c点和h点受力大小相等，方向相同
C．在b点和d点电势能相等
D．在c点和h点电势能相等
解析：选ABC　依据对称性和等量异种电荷四周电场线的分布特点可知，摸索电荷在b点和d点受力大小相等，方向不同，在c点和h点受力大小相等，方向相同，所以选项A、B正确；由于 b点和d点到两个场源电荷的距离都一样，所以摸索电荷在 b点和d点电势能相等，选项C正确；c点离场源正电荷较h点远，所以摸索电荷在c点和h点电势能不相等，或者依据等量异种电荷四周等势面的分布特点可知，中垂面是等势面，而c点和h点分居中垂面的两侧，它们的电势确定不等，所以选项D错误。
要点二　电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电