2021届高考文科数学二轮复习提能专训2-数形结合思想.docx

提能专训(二)　数形结合思想
一、选择题
1．(2022·锦州质检)设全集U＝R，A＝，B＝{x|2x<2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|x≥1}　　　　　　　　　 B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}
答案：B
解析：A＝＝{x|0<x<2}，B＝{x|2x<2}＝{x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为A∩∁RB＝{x|0<x<2}∩{x|x≥1}＝{x|1≤x＜2}．
2．(2022·唐山二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝(　　)

A．－　　　　　　　　　　 B．－　　　
C.　 D.
答案：B
解析：由题图知，T＝2＝，
∴ω＝＝3，∴f(x)＝sin(3x＋φ)，
代入点，得sin＝0，取φ＝－.
∴f(x)＝sin，∴f＝sin＝sin ＝－.
3．(2022·山东临沂4月质检)当a>0时，函数f(x)＝(x2－ax)ex的图象大致是(　　)

答案：B
解析：f(x)＝(x2－ax)ex＝x(x－a)ex，∵ex>0，∴当x∈(0，a)时，f(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f(x)>0，且增长很快．当x∈(－∞，0)时，f(x)>0，由于ex的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.
4．(2022·云南统检)已知圆M经过双曲线S：－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为(　　)
A.或 B.或
C. D.
答案：D
解析：依题意可设圆心M的坐标为(x0，y0)．若圆M经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F与右顶点A为例，由|MA|＝|MF|知，x0＝＝4，代入双曲线方程，可得y0＝，故M到双曲线S的中心的距离|MO|＝＝.若M经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.
5．(2022·河北正定中学高三第三次模拟)已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　　)
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪(1,4] D.∪[4，＋∞)
答案：B
解析：数形结合：当x∈(－1,1)时，均有f(x)<⇔x2－<ax在x∈(－1,1)时，恒成立，在同始终角坐标系中作出函数g(x)＝x2－，φ(x)＝ax的图象，如图，当a>1时，g(－1)＝，

依题意，φ(－1)＝a－1≥g(－1)＝.
∴1<a≤2；
当0<a<1时，φ(1)＝a≥g(1)＝，
即a≥，
∴≤a<1.
综上，a的取值范围为∪(1,2]，故选B.
6．(2022·唐山期末)f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：B
解析：令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示．

∵h(1)＝g(1)，h>g，g(4)＝3>2，
g(－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，
∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
7．(2022·河南安阳调研)设函数F(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y＝kx＋k(k>0)与函数f(x)的图象恰好有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：画出函数f(x)＝g(x)＝k(x＋1)(k>0)的图象，

若直线y＝kx＋k，(k>0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得kPB≤k＜kPA，
∵kPA＝＝，kPB＝＝，
∴≤k＜，故选B.
8．(2022·兰州、张掖联合诊断)设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件则称f(x)为闭函数：①f(x)是D上的单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]．现已知f(x)＝＋k为闭函数，则k的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，1)
C. D．(1，＋∞)
答案：A
解析：函数f(x)＝＋k的定义域为x∈，明显在定义域上函数f(x)单调递增，依题可知，在x∈上，方程x－k＝有两个不同的解，结合图象易得实数k的取值范围为－1<k≤－.
9．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足(　　)
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
答案：D
解析：分别在两个数轴上标出数集A，B，如图所示．

假如把集合A、B表示在同一个数轴上，A⊆B当且仅当点D与点E重合在点E的左边，或点C与点F重合或在点F的右边．如图所示．

|a－b|即是线段MN(或NM′)的长度，明显|a－b|≥3.
10．(2022·琼海高三模拟试题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则满足f(x)＝－的x的值是(　　)
A．2n(n∈Z) B．2n－1(n∈Z)
C．4n＋1(n∈Z) D．4n－1(n∈Z)
答案：D
解析：依题意知：f(－x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，又f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期为4，则f(x)的图象如图所示，易知f(x)＝－的解为x＝4n－1(n∈Z)．

二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
答案：(－13,13)
解析：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合力量．
由题意知，当且仅当圆x2＋y2＝4的圆心到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1时，圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，此时有d＝<1，解得c∈(－13,13)．
12．(2022·山西四校联考)已知f(x)＝
g(x)＝f(x)－x－b有且仅有一个零点时，b的取值范围是________．
答案：
解析：要使函数g(x)＝f(x)－－b有且仅有一个零点，只需要函数f(x)的图象与函数y＝＋b的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观看得，要符合题意，须满足b≥1或b＝或b≤0.
13．(2022·温州十校联考)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y且x＋y＝1，函数f(m)＝|－m|的最小值为，则||的最小值为________．
答案：

解析：如图，△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，记＝－m，则当N在D处，即AD⊥BC时，f(m)取得最小值，因此||＝，简洁得到∠ACB＝120°.
∵＝x＋y且x＋y＝1，
∴O在边AB上，∴当CO⊥AB时，||最小，||min＝.
14．(2022·沈阳质检)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：
①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；
②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；
③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；
④函数f(x)的值域为(－1,1)．
其中正确命题的序号有________．
答案：①③④
解析：依题意得，对于①，当x≥0时，有f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(2×1 006＋1)＋f(2×1 007)＝f(1)＋f(0)＝0，因此①正确．对于②，留意到f＝f＝log2，f＝f＝－f＝－log2，因此f≠f，函数f(x)在定义域上不是周期为2的周期函数，②不正确．对于③，留意到当x∈[1,2)时，x－1∈[0,1)，f(x)＝－f(x－1)＝－log2x；当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，在坐标系内画出函数y＝f(x)与直线y＝x的大致图象，结合图象可知，它们的公共点恰有1个，因此③正确．对于④，当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)的值域是[0,1)；当x∈[1,2)时，f(x)＝－log2x的值域是(－1,0]，因此函数y＝f(x)的值域是(－1,1)，④正确．综上所述，其中正确命题的序号有①③④.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.
(1)解不等式f(x)≤4；
(2)若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的取值范围．

解：(1)y＝|2x＋1|－|x－3|＝
作出函数y＝|2x＋1|－|x－3|的图象，如图所示，它与直线y＝4的交点为(－8,4)和(2,4)．
∴|2x＋1|－|x－3|≤4的解集为[－8,2]．
(2)由y＝|2x＋1|－|x－3|的图象可知，
当x＝－时，f(x)min＝－，
∴存在x使得f(x)＋a≤0成立的条件是－a≥f(x)min，∴a≤.即实数a的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．

解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．
(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
∵H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
∴H(t)>H(0)＝0，因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
17．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝
作出图象如图所示．

(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．
(2)原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象，则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；
当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由得
x2－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(a＋3)＝0，得a＝－.
由图象知，当a∈时，方程至少有三个不等实根．
18．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
解：(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，

如图所示，
得
解得
即－<m<－，
则m的取值范围是.

(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如右图所示．
列不等式组

解得
即－<m≤1－，则m的取值范围为.