三射线定理解高考立体几何题知识分享.doc
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1、 三射线定理解高考立体几何题 陕西定边县第三中学 白治清从一点发出的不在同一平面内的三条射线,形成三种空间角(即“线线角”、“面面角”与“线面角” )。这三种空间角之间的关系问题,是立体几何的一个基本问题,在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用,本文将探寻这三种空间角之间的关系,得出三射线定理,并用三射线定理解立体几何高考题。一、由“线线角”求“面面角”定理1 OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线,如果BOC=1 ,COA= 2 , AOB=3 ,二面角COAB,AOBC与BOCA的平面角分别等于1 、2 、3 ,那么cos1 = , cos2 = ,cos3 = ,证明:先证明,分
2、5种情况:(1) 2与3 ,均为锐角.如图1,在OA上取一点P,使OP=1.在平面AOB内,作PMOA,交OB于M;在平面AOC内,作PNOA,交OC于N.连结MN,NPM=1 .PN=tan,PM= tan,ON=sec,OM=sec,在PMN与OMN中应用余弦定理,得MN2=tan2+ tan2-2tantancos1=sec22+ sec2 3-2sec2sec3cos1 .用1、2、3 的三角函数表示cos1 , 得 cos1 = (2)2与3中有一个锐角,一个钝角.如图2,不妨设3为锐角, 2为钝角,作OC的反向延长线OD.因为二面角D-OA-B与C-OA-B“互补”,所以D-OA-
3、B的平面角等于.BOD=对于射线OA、OB、OD应用(1), 得cos()=,即cos.(3)2与3均为钝角.如图3, 作OB、OC的反向延长线OD、OE,二面角D-OA-E与C-OA-B是“对顶角”,所以D-OA-E的平面角等于1 .,.对于射线OA、OD、OE应用(1),得cos .(4)2与3中有一个直角. 图3 如图4,不妨设2 = 在平面AOB内作ODOA,则COD=1 .若1因为,不论3是锐角还是钝角,都有BOD=二面角B-OD-C是直二面角,对于射线OD、OC、OB应用(1)、(2)、(3),得cos=,即cos另一方面,直接应用,得cos1=.若1=,则cos1=0,这时,另一
4、方面,直接应用,得cos1=可见,当2、3中有一个直角时,仍旧适用。(5)2与3均为直角.这时,1= 1,cos1=cos1 .另一方面,直接应用,得cos1=可见,当2、3均为直角时,1仍旧适用。综合上述,得证. 同理可证与. 定理1证毕。二、由“线线角”求“线面角”定理2 OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线,如果BOC=1, COA=2,AOB=3,直线OA、OB、OC分别与平面BOC、COA、AOB所成的角等于1、2、3,那么sin21=(1cos21cos22cos23+2cos1cos2cos3)/sin21. sin22=(1cos21cos22cos23+2cos1cos
5、2cos3)/sin22. sin23=(1cos21cos22cos23+2cos1cos2cos3)/sin22. 证明:先证明.在OA上任取一点P,作PQ平面BOC,Q为垂足,OQ是OA在平面BOC内的射影,POQ=1,分5种情况。(1)OQ在BOC的内部.如图5,作QROC,垂足为R,连PR,PRQ是二面角B-OC-A的平面角,设PRQ=.OPQ= OPR= QPR=二面角O-PR-Q是直二面角,对于射线PR、PO、PQ应用定理1,得 cos,即 sin1=sin2sin3, sin21=sin22sin23, (a)对于射线OA、OB、OC应用定理1,得cos3=即sin23=1()
6、2 (b)将(b)式代入(a)式,得sin21= .(2)OQ在BOC的两边的反向延长线所形成的角的内部.如图6 OD、OE是OB、OC的反向延长线,OQ在DOE的内部.DOE=1,AOE=-2,AOD=-3,对于射线OA、OD、OE应用(1)的结论,得Sin2=(3)OQ在BOC的一边及另一边的反向延长线所形成的角的内部.如图7 OD是OC的反向延长线,OQ在BOD的内部.BOD=AOD=对于射线OA、OB、OD应用(1),得sin21=(4)OQ在BOC的一边上,如图8,OQ在OC上.这时,1=2,sin21=sin22,另一方面,由定理2,得sin21= (c)因为二面角B-OC-A是直
7、二面角,由定理1,得cos即 (d)将(d)式代入(c)式,得sin21=可见,当OQ在BOC的一边上时,定理2仍旧适用。(5)OQ在BOC的一边的反向延长线上;如图9,OQ在OC的反向延长线OD上.BOD=, AOD=对于射线OA、OB、OD应用(4),得sin21 = = .综合上述,定理2得证,同理可证与,定理2证毕.三、由“面面角”求“线线角”与“线面角”及由“线面角”求“线线角”与“面面角”.如果已知“面面角”,那么解定理1的、联立的方程组,可求得“线线角”,再由定理2可求“线面角”.类似地,由“线面角”可求“线线角”与“面面角”。应用举例 例1 (2015陕西理)如图1,在直角梯形
8、ABCD中,ADBC,BAD=90,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2. (1)证明:CD平面A1OC; (2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值. (图1) (图2) 服务于本文,只解(2).其他各题也只解有关三种空间角的问题. 解:(2)BCD = 135.由(1)得,A1CD = 90.A1OBBOCCOA1,A1B=A1C=BC,A1CB=60. 设所求二面角BA1CD的平面角为,对于射线CA1,CB,CD应用三射线定理1,得 平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为 点评:用三射
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