广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)知识交流.doc

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2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（1+i）2+的共轭复数是（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（　　）
A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅
3．已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（　　）
A．1 B．13 C．4或10 D．1或13
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（　　）

A． B． C． D．
7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）
9．已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．20π D．24π
11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（　　）
A．0 B．504 C．1008 D．2016

二、填空题：本小题共4题，每小题5分．
13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是　　．
14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为　　（用数字填写答案）
15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是　　．
16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（n∈N*）的最小值为　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．
（Ⅰ） 求∠ACP；
（Ⅱ） 若△APB的面积是，求sin∠BAP．

18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．
（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80

对商品不满意

合计

200
（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满
意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．
附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
（Ⅰ） 求证：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ） 若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ） 证明：x1x2+y1y2为定值；
（Ⅱ） 记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．
21．已知函数f（x）=lnx+．
（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．

选修4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．
（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．

2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（1+i）2+的共轭复数是（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：（1+i）2+=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数是1﹣i．
故选：B．

2．若集合M={x||x|≤1}，N={y|y=x2，|x|≤1}，则（　　）
A．M=N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N=∅
【考点】集合的表示法．
【分析】化简N，即可得出结论．
【解答】解：由题意，N={y|y=x2，|x|≤1}={y|0≤y≤1}，
∴N⊆M，
故选C．

3．已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
∵a3，成等差数列，
∴，则，
化简得，q2﹣q﹣1=0，解得q=，
则q=，
∴====，
故选A．

4．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；
第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；
第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；
第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，
故输出k值为3，
故选：B

5．已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（　　）
A．1 B．13 C．4或10 D．1或13
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．
【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，∴a=3．
由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|=6，∴|PF2|=1或13，
故选C．

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．
【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，
该几何体的俯视图为D．
故选：D．

7．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．
【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．
由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，
∴没有相邻的两个人站起来的概率为，
故选：C．

8．已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由∠F1PF2为钝角，得到•＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．
【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|＜a，
又F1（﹣c，0），F2（c，0），
又∠F1PF2为钝角，当且仅当•＜0有解，
即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=（﹣c﹣x0）（c﹣x0）+y02＜0，
即有c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．
又y02=b2﹣x02，
∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），
即（x02+y02）min=b2．
故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，
∴＞，即e＞，
又0＜e＜1，
∴＜e＜1．
故选：A．

9．已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用导数研究p的单调性可得a＞0．q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．即可判断出结论．
【解答】解：p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，则a，令f（x）=，则f′（x）=．
令g（x）=exx﹣ex+1，
则g（0）=0，g′（x）=xex＞0，∴g（x）＞0，∴f′（x）＞0，∴a＞0．
q：函数f（x）=﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2．
则p是q的必要不充分条件．
故选：B．

10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）
A．8π B．12π C．20π D．24π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC==2，
∴球O的半径为，
∴球O的表面积为4π•5=20π，
故选C．

11．若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1﹣x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），求解x1，x2的值，利用定积分即可求解线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积．
【解答】解：函数f（x）=2sin2x，
周期T=π，
令2sin2x=1，解得：x=或，
直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点从左向右依次是，，…，
∵|x1﹣x2|=
令x1=，x2=，
可得：线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积
S=﹣2﹣2=．
故选A

12．已知函数f（x）=x3﹣，则的值为（　　）
A．0 B．504 C．1008 D．2016
【考点】数列的求和．
【分析】使用二项式定理化简得f（x）═（x﹣）3+．根据与互为相反数便可得出答案．
【解答】解：f（x）=x3﹣=x3﹣x2+x﹣+=（x﹣）3+．
∵+=0，k=1，2，…2016．
∴（﹣）3+（）3=0，k=1，2，…2016．
∴==504．
故选：B．

二、填空题：本小题共4题，每小题5分．
13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是　　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．
【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，
求得cosθ=，可得θ=，
故答案为：．

14．（3﹣x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为　﹣540　（用数字填写答案）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】令x=1，则2n=64，解得n=6．再利用通项公式即可得出．
【解答】解：令x=1，则2n=64，解得n=6．
（3﹣x）6的通项公式为：Tr+1==（﹣1）r•36﹣r•xr，
令r=3，则x3的系数为﹣=﹣540．
故答案为：﹣540．

15．已知函数f（x）=，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是　　．
【考点】函数的值．
【分析】根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围．
【解答】解：由题意知，f（x）=，
①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|21﹣a|≥2，
则21﹣a≥2，即1﹣a≥1，解得a≤0；
②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2为，
则或，
即或，解得0＜a或a≥8；
综上可得，实数a的取值范围是，
故答案为：．

16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（n∈N*）的最小值为　　．
【考点】数列的求和．
【分析】对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则﹣an=2，利用等差数列的求和公式可得Sn．f（n）===n+1+﹣1，令g（x）=x+（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：∵对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则﹣an=2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2．
∴Sn=2n+=n+n2．
则f（n）===n+1+﹣1，
令g（x）=x+（x≥1），则g′（x）=1﹣=，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．
又f（7）=14+，f（8）=14+．
∴f（7）＜f（8）．
∴f（n）=（n∈N*）的最小值为．
故答案为：．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．
（Ⅰ） 求∠ACP；
（Ⅱ） 若△APB的面积是，求sin∠BAP．

【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ） 在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．
（Ⅱ） 法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．
法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，．利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ） 在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，
由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…
所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，
整理得AP2﹣4AP+4=0，…
解得AP=2．…
所以AC=2．…
所以△APC是等边三角形．…
所以∠ACP=60°．…
（Ⅱ） 法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…
因为△APB的面积是，所以．…
所以PB=3．…
在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，
所以．…
在△APB中，由正弦定理得，…
所以sin∠BAP==．…
法2：作AD⊥BC，垂足为D，
因为△APC是边长为2的等边三角形，
所以．…
因为△APB的面积是，所以．…
所以PB=3．…
所以BD=4．
在Rt△ADB中，，…
所以，．
所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…
==．…

18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．
（Ⅰ） 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80

对商品不满意

合计

200
（Ⅱ） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满
意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．
附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）利用数据直接填写联列表即可，求出X2，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；
（Ⅱ）由题意可得X的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望．．
【解答】解：（Ⅰ） 2×2列联表：

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
…，…
因为11.111＞6.635，
所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．…
（Ⅱ） 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．
…；；．…
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

…
所以．…

19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
（Ⅰ） 求证：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ） 若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）证明DC⊥AB．AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，即二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面BAD的法向量，平面ADE的法向量，即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值
【解答】解：（Ⅰ） 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．…
因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB．…
又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，…
所以AB⊥平面ADC．…
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．…
又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD．
依题意．…
因为AD=1，所以．
设AB=x（x＞0），则．
依题意△ABD～△BDC，所以，即．…
解得，故．…
如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，
所以，．
由（Ⅰ）知平面BAD的法向量．…
设平面ADE的法向量
由得
令，得，
所以．…
所以．…
由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，
所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．…

20．过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ） 证明：x1x2+y1y2为定值；
（Ⅱ） 记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（Ⅰ） 求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k1k2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证x1x2+y1y2为定值；
（Ⅱ） 直线PA的垂直平分线方程为，同理求得直线PB的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则，
则．则以PM为直径的圆恒过点F．
【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为．
因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．
所以直线PA的方程为．…
因为点P（a，﹣2）在直线PA上，
所以，即．…
同理，．…
所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根．
所以x1x2=﹣8．…
又，…
所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…
法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…
，消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，
由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…
所以k1k2=﹣2．…
由x2=4y，得，所以．
所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．
所以，即x1x2=﹣8．…
又，…
所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…
（Ⅱ） 法1：直线PA的垂直平分线方程为，…
由于，，
所以直线PA的垂直平分线方程为．①…
同理直线PB的垂直平分线方程为．②…
由①②解得，，
所以点．…
抛物线C的焦点为F（0，1），则．
由于，…
所以．
所以以PM为直径的圆恒过点F．…
另法：以PM为直径的圆的方程为．…
把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．
所以以PM为直径的圆恒过点F．…
法2：设点M的坐标为（m，n），
则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，
由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，
则，．
两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…
由（Ⅰ）知，代入上式得，…
当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，②
假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）=0，
得ma﹣3（n﹣1）=0，③…
由②③解得，…
所以点．…
当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．
所以以PM为直径的圆恒过点F．…

21．已知函数f（x）=lnx+．
（Ⅰ） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；
（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．
由，得．…
因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．
所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…
当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…
当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…
所以实数a的取值范围为．…
法2：函数的定义域为（0，+∞）．
由，得a=﹣xlnx．…
令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．
当时，g'（x）＞0； 当时，g'（x）＜0．
所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…
故时，函数g（x）取得最大值．…
因而函数有零点，则．…
所以实数a的取值范围为．…
（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．
当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．
所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．
当时，．…
于是，当a≥时，．①…
令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
当x=1时，．…
于是，当x＞0时，．②…
显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．
故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…
因为b＞1，所以lnb＞0．
所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…
所以，即．…

选修4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．
（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ） 将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．
法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ） 由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，
∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．
由=．
得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．
将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，
得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
（Ⅱ） 法1：设曲线C上的点为，
则点P到直线l的距离为==
当时，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；
法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．
当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．
∴直线l'的方程为x+y=0．
那么：直线l与直线l'的距离为
故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．

选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．
（Ⅰ） 若f（1）＜3，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．
【解答】解：（Ⅰ） 因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．
①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，
解得，所以；
②当时，得a+（1﹣2a）＜3，
解得a＞﹣2，所以；
③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，
解得，所以；
综上所述，实数a的取值范围是．
（Ⅱ） 因为a≥1，x∈R，
所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．

2017年3月25日
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