2021高考数学(福建-理)一轮学案24-正弦定理和余弦定理应用举例.docx

学案24　正弦定理和余弦定理应用举例
导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

自主梳理

1．仰角和俯角
与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)

2．方位角
一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)

①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
4．坡角
坡面与水平面的夹角．(如图所示)

5．坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α(i为坡比，α为坡角)．
6．解题的基本思路
运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学学问在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．

自我检测
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是 (　　)
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离相等，灯塔A在观看站C的北偏东40°，灯塔B在观看站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
(　　)

A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是 (　　)

A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
4．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.
5．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD.

探究点一　与距离有关的问题
例1　(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

变式迁移1　某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A动身有一条南偏东35°走向的大路，在C处测得与C相距31千米的大路上B处有一人正沿此大路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？

探究点二　测量高度问题
例2　如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

变式迁移2　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．

探究点三　三角形中最值问题
例3　(2010·江苏)某爱好小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？

变式迁移3　(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．

1．解三角形的一般步骤
(1)分析题意，精确     理解题意．
分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．
(2)依据题意画出示意图．
(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关学问正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．
(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．
2．应用举例中常见几种题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 (　　)
A. B.
C. D.
2．(2011·揭阳模拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为 (　　)

A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为 (　　)
A. B.
C. D．9
4．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离动身点恰好是 km，那么x的值为 (　　)
A. B．2
C.或2 D．3
5．一船向正北航行，观看正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，连续航行半小时后，观看一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时 (　　)
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．
7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上进行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最终一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最终一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．
8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开头________h后，两车的距离最小．

三、解答题(共38分)
9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.摸索究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．

10．(12分)如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？

11．(14分)(2009·福建)如图，

某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的平安，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

答案 自我检测
1．B　2.B　3.A
4.
5．解　由cos∠ADC＝＞0知B＜，
由已知得cos B＝，sin∠ADC＝，
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B
＝×－×＝.
由正弦定理得，＝，
所以AD＝＝＝25.
课堂活动区
例1　解题导引　这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．留意：①基线的选取要恰当精确     ；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．
解　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴DB＝＝
＝＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×
＝900，∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝＝1(小时)．
故救援船到达D点需要1小时．
变式迁移1　

解

如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，
cos B＝＝，
所以sin B＝.
在△ABC中，AC＝＝24，
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，
得AB2－24AB－385＝0，
解得AB＝35，AB＝－11(舍)，
所以AD＝AB－BD＝15.
故此人在D处距A还有15千米．
例2　解题导引　在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出精确     的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．留意综合应用方程和平面几何、立体几何等学问．
解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝，
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan∠ACB＝.
变式迁移2　
解

由题意可知，在△BCD中，CD＝40，
∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，
由正弦定理得，
＝，
∴BD＝＝20.
过B作BE⊥CD于E，明显当人在E处时，
测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.
在Rt△BED中，
又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.
∴BE＝DB·sin 15°＝20×＝10(－1)．
在Rt△ABE中，
AB＝BE·tan 30°＝(3－)(米)．
故所求的塔高为(3－)米．
例3　解题导引　平面几何图形中争辩或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若争辩最值，常使用函数思想．
解

(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，
得＋＝，
解得H＝＝＝124(m)．
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
(2)由题设知d＝AB，得tan α＝.
由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝.
所以tan(α－β)＝
＝≤，
当且仅当d＝，
即d＝＝＝55时，
上式取等号，所以当d＝55时，tan(α－β)最大．
由于0<β<α<，则0<α－β<，
所以当d＝55时，α－β最大．
变式迁移3　解　设∠POB＝θ，四边形面积为y，
则在△POC中，由余弦定理得
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos θ＝5－4cos θ.
∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋(5－4cos θ)
＝2sin(θ－)＋.
∴当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
所以四边形OPDC面积的最大值为2＋.
课后练习区
1．D　2.A　3.C　4.C　5.C
6．30 km　7.0.6
8.

解析

　如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.
由于AB＝200，所以BD＝200－80t，
问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos 60°
＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t
＝12900t2－42000t＋40000.
∴当t＝时，DE最小．
9．解　在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
所以△ABC≌△CBD，
所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分)
在△ABC中，＝，
即AB＝＝，…………………………………………………………(10分)
所以BD＝≈0.33(km)．
故B、D的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分)
10．解

如图，连接A1B2，由题意知，
A1B1＝20，A2B2＝10，
A1A2＝×30＝10(海里)．…………………………………………………………(2分)
又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分)
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos 45°
＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10(海里)．…………………………………………………………………(10分)
因此乙船的速度大小为
×60＝30(海里/小时)．…………………………………………………………(12分)
11．解

方法一　(1)依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.(3分)
当x＝4时，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．
又P(8,0)，∴MP＝＝5.…………………………………………………………(5分)
(2)如图，连接MP，在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.
设∠PMN＝θ，
则0°<θ<60°.
由正弦定理得＝＝，
∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)，…………………………………………(8分)
∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)
＝＝sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)
∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．
即将∠PMN设计为30°时，
折线段赛道MNP最长．…………………………………………………………………(14分)
方法二　(1)同方法一．
(2)连结MP.在△MNP中，∠MNP＝120°.MP＝5，
由余弦定理得，MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2.………………………………(8分)
即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤2，
……………………………………………………………………………………………(10分)
从而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤.
当且仅当MN＝NP时等号成立．
即设计为MN＝NP时，
折线段赛道MNP最长．…………………………………………………………………(14分)