2021届高考文科数学二轮复习提能专训8-三角函数的图象与性质.docx

提能专训(八)　三角函数的图象与性质　
一、选择题
1．(2022·贵阳适应性考试)
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝sin　　 B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
答案：A
解析：由题中图象可知，A＝1，且T＝×＝－＝，解得ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
把代入，得－1＝sin.
∵|φ|<，∴＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝sin，故选A.

2．(2022·武汉调研)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．2，－　　　　　　 B．2，－
C．4，－ D．4，
答案：A
解析：由题中图象知，T＝－＝，T＝π，则ω＝＝2.留意到函数f(x)在x＝时取到最大值，则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，而－<φ<，故φ＝－.
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是(　　)
A．y＝4sin
B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2
D．y＝2sin＋2
答案：D
解析：函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小值是0，排解A；最小正周期是，排解B；将x＝代入y＝2sin＋2，得
y＝2sin＋2＝2sin＋2＝2－.而2－既不是y＝2sin＋2的最大值，也不是最小值，排解C，故选D.
4．已知直线x＝和点恰好是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻的对称轴和对称中心，则f(x)的表达式可以是(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
答案：B
解析：由题意可知，＝－＝，T＝π＝，∴ω＝2.又∵sin＝0，∴φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故f(x)＝sin，故选B.
5．(2022·郑州第一次质量猜测)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　)
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
答案：B
解析：f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，∵图象关于x＝0对称，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝，∴f(x)＝2cos 2x.其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减．
6．(2022·东北三省二联)函数h(x)＝2sin的图象与函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，则函数f(x)可由h(x)经过________的变换得到．(　　)
A．向上平移2个单位，向右平移个单位
B．向上平移2个单位，向左平移个单位
C．向下平移2个单位，向右平移个单位
D．向下平移2个单位，向左平移个单位
答案：A
解析：本题考查三角函数的图象和性质，难度中等．求出f(x)后利用图象变换法则求解．
由于函数h(x)＝2sin的图象与函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，所以f(x)＝2－h(－x)＝2－2sin＝2sin＋2＝2sin 2
＋2，函数f(x)可由h(x)＝2sin 2向上平移2个单位，向右平移个单位得到，故选A.
7．(2022·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos－cos 2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f(x)图象的一个对称中心为；④函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
则正确结论的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
答案：C
解析：由已知，得f(x)＝cos－cos 2x＝cos 2xcos－sin 2xsin－cos 2x＝－sin，
不是奇函数，故①错；当x＝时，f＝－sin＝1，故②正确；当x＝时，f＝－sin π＝0，故③正确；
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故④正确．
综上所述，正确结论的个数为3.
8．(2022·广东肇庆一模)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．2 D．2
答案：A
解析：由题意，设点P的坐标为(x0，cos x0)，Q点的坐标为(x，y)，则＝m⊗＋n，(x，y)＝⊗(x0，cos x0)＋，∴(x，y)＝，
∴即
∴y＝4cos，当x∈时，0≤2x－≤，∴≤cos≤1,2≤4cos≤4，
所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4.故选A.
9．(2022·忻州联考)
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

在一个周期内的图象如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为(　　)
A. B.
C. D.或
答案：D
解析：要使方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y＝f(x)与函数y＝m的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由题中图象知，两个交点关于直线x＝或关于x＝对称，因此x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝.
10．(2022·洛阳统考)已知f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤对一切x∈R恒成立，且f>0，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案：B
解析：f(x)＝asin 2x＋bcos 2x
＝sin(2x＋φ)，其中tan φ＝.
∵f(x)≤，∴x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，即＋φ＝＋kπ(k∈Z)，又f>0，∴φ的取值可以是－，∴f(x)＝sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选B.

11．如图所示，M，N是函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时·＝0，则ω等于(　　)
A. B. C. D．8
答案：A
解析：点P在M，N之间的图象上运动，如图，作PQ⊥x轴，交x轴于点Q.当△MPN面积最大时·＝0，此时PM⊥PN，如图，△PMN是等腰直角三角形，由题意可知，PQ＝2，
∴MQ＝QN＝PQ＝2，
∵T＝2MN＝4PQ＝8，故ω＝＝.

12．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D．(0,2]
答案：A
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈Z)．
由题意，函数f(x)在上单调递减，故为函数单调递减区间的一个子区间，故有解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．
由4k＋<2k＋，解得k<.由ω>0，可知k≥0，
所以k＝0，故ω的取值范围为.
二、填空题
13．(2022·上海十三校二联)若关于x的方程sin 2x＋cos 2x＝k在区间上有两个不同的实数解，则k的取值范围为________．
答案：[1，)
解析：原方程可变形为sin＝，
∵x∈，
∴≤2x＋≤，
又f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，可作出f(x)图象如图所示，

∴f(x)＝有两个不同的实数解时，≤<1，
∴1≤k<.
14．(2022·广东六校联考)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0<φ<π)，将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g＝，则φ＝________.
答案：
解析：∵f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin
＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝cos(2x－φ)，
∴g(x)＝cos
＝cos.
∵g＝，∴2×＋－φ＝2kπ(k∈Z)，
即φ＝－2kπ(k∈Z)．∵0<φ<π，∴φ＝.
15．函数f(x)＝的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________．
答案：
解析：本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，难度中等．利用三角公式化简解析式，再结合图象求解．
由于f(x)＝＝|sin 3x|，最小正周期T＝×＝，所以图象的相邻两条对称轴之间的距离等于T＝.
16．(2022·辽宁三校联考)已知函数f(x)＝|cos x|·sin x，给出下列五个说法：
①f＝－；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；③f(x)在区间上单调递增；④函数f(x)的周期为π；⑤f(x)的图象关于点成中心对称．
其中正确说法的序号是________．
答案：①③
解析：①f＝f＝·
sin＝cos＝－，正确．
②令x1＝－，x2＝，则|f(x1)|＝|f(x2)|，但x1－x2＝－＝－，不满足x1＝x2＋kπ(k∈Z)，不正确．
③f(x)＝
∴f(x)在上单调递增，正确．
④f(x)的周期为2π，不正确．
⑤∵f(－π＋x)＝－|cos x|sin x，
f(－x)＝－|cos x|sin x，
∴f(－π＋x)＋f(－x)≠0，
∴f(x)的图象不关于点成中心对称，
∴不正确．
综上可知，正确说法的序号是①③.
三、解答题
17．(2022·绵阳诊断)已知向量a＝(sin x,2cos x)，b＝(2sin x，sin x)，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝a·b＝2sin2x＋2sin xcos x
＝2×＋sin 2x
＝sin＋1，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由题意g(x)＝sin＋1
＝sin＋1，
由≤x≤，得
≤2x＋≤，∴0≤g(x)≤＋1，
即g(x)的最大值为＋1，g(x)的最小值为0.
18．(2022·北京海淀期末)函数f(x)＝＋
2sin x.
(1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的全部对称轴的方程．
解：(1)由sin x＋cos x≠0，得x≠kπ－，k∈Z.
f(x)＝＋2sin x
＝＋2sin x
＝cos x＋sin x＝sin(x＋)，
在△ABC中，cos A＝－<0，
所以<A<π，
所以sin A＝＝，
所以f(A)＝sin A＋cos A＝－＝.
(2)由(1)，可得f(x)＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝2π.
由于函数y＝sin x图象的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，
又由x＋＝kπ＋，k∈Z，得
x＝kπ＋，k∈Z，
所以f(x)图象的对称轴的方程为x＝kπ＋，k∈Z.
19．(2022·广东七校联考)设函数f(x)＝sin ωx＋sin，x∈R.
(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；
(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．
解：(1)f(x)＝sin ωx＋sin
＝sin ωx－cos ωx.
当ω＝时，f(x)＝sin－cos
＝sin，
而－1≤sin≤1，所以f(x)的最大值为，
此时－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z，
相应的x的集合为.
(2)依题意f＝sin＝0，即－＝kπ，k∈Z，
整理，得ω＝8k＋2，
又0<ω<10，所以0<8k＋2<10，－<k<1，
而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，所以f(x)＝sin，f(x)的最小正周期为π.
20．(2022·山东菏泽一模)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋2sin2 ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b\](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
解：(1)由题意，得f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin，
由最小正周期为π，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
又2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象，所以g(x)＝2sin 2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋＝.