2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测:第7章-第8课时.docx
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1、基础达标一、选择题1. (2022高考陕西卷)如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C. D.解析:选A.不妨令CB1,则CACC12.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),(0,2,1),(2,2,1),cos,0,与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.2已知正方体ABCDA1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是()A. B.C. D.解析:选C.建立空间直角坐标系如图所示设正方体的
2、棱长为1,直线BC1与平面A1BD所成的角为,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,0,1)设n(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则,令z1,则x1,y1.n(1,1,1),sin |cosn,|.二、填空题3(2022江苏徐州一模)在ABCD中,ABAC1,ACD90,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60角,则B,D两点间的距离为_解析:如图所示ABAC1,AD,BC,|2()()222222222.ABAC,CDAC,0,0.当B,D在AC两侧时,和成60角;当B,D在AC同侧时,和
3、成120角|2222211cos 60,或|2222211cos 120,|212121214,|2,或|211112,|.答案:2或 4(2022浙江温州质检)如图(1),在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF,使平面AEF平面BEF,则二面角AFDC的余弦值为_解析:取线段EF的中点H,连接AH.AEAF,H是EF的中点,AHEF.又平面AEF平面BEF,AH平面BEF.如图(2),可建立空间直角坐标系Axyz,则A(2,2,2),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0),故(2,2,2),(6,0,0)设n(x
4、,y,z)为平面AFD的一个法向量,取z,则n(0,2,)又平面BEF的一个法向量m(0,0,1),故cosn,m,二面角的余弦值为.答案:三、解答题5(2021高考江苏卷) 如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,点D是BC的中点 (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以(2,0,4),(1,1,4)由于cos,所以异面直线A
5、1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x,y,z),由于(1,1,0),(0,2,4),所以n10,n10,即xy0且y2z0,取z1,得x2,y2,所以,n1(2,2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |,得sin .因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.6(2022宜昌市模拟)如图,在底面是正方形的四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,BD交AC于点E,F是PC的中点,G为AC上一点(1)确定点G在线段AC上的位置,使FG平面PBD,并说明理由
6、;(2)当二面角BPCD的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值解:(1)当G为EC中点,即AGAC时,FG平面PBD,理由如下:连接PE(图略),由F为PC中点,G为EC中点,知FGPE,而FG平面PBD,PB平面PBD,故FG平面PBD.(2)作BHPC于H,连接DH(图略)由于 PA面ABCD,四边形ABCD是正方形,所以PBPD,又由于BCDC,PCPC,所以PCBPCD,所以DHPC,且DHBH.所以BHD是二面角BPCD的平面角,即BHD.由于PA面ABCD,所以PCA就是PC与底面ABCD所成的角连接EH,则EHBD,BHE,EHPC,所以tanBHE,BEEC.所以,所以
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