【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第2章-第7节-函数与方程、函数模型及其应用.docx

其次章　第七节

一、选择题
1．(2021·濉溪县月考)已知函数f(x)＝()x－x，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是(　　)
A．(0，)　　　　　　 B．(，)
C．(，1) D．(1,2)
[答案]　B
[解析]　f(0)＝1>0，f()＝()－()>0，f()＝()－()<0，
∵f()·f()<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，
∴函数f(x)在(，)内有零点．
2．(文)(2021·威海模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
－7
11
－5
－12
－26
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
[答案]　C
[解析]　由表知，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，∴f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)内必有零点，
∴选C.
(理)(2022·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应值表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有(　　)
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]，[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]，[4,5]和[5,6]
[答案]　C
[解析]　∵f(x)的图象连续不断，且f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，∴f(x)在[2,3]，[3,4]和[4,5]内都有零点．
3．(2022·洛阳统考)已知函数f(x)＝|x2－4|－3x＋m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－6,6)∪(，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(－6,6)
D．(－，＋∞)
[答案]　C
[解析]　函数f(x)＝|x2－4|－3x＋m的零点，即方程|x2－4|－3x＋m＝0的根，即方程|x2－4|＝3x－m的根，则y＝|x2－4|和y＝3x－m的图象的交点个数即函数f(x)的零点个数．在同一坐标平面内作出两函数图象(图略)，x＝－2，x＝2时是临界位置，此时m＝－6，m＝6.
当直线与曲线相切，即y＝－x2＋4与y＝3x－m相切，故x2＋3x－4－m＝0，Δ＝9＋4(4＋m)＝0，可得m＝－，∴m∈(－6,6)∪(－∞，－)．
4．(2021·洛阳统考)已知x1，x2是函数f(x)＝e－x－|lnx|的两个零点，则(　　)
A.<x1x2<1 B．1<x1x2<e
C．1<x1x2<10 D．e<x1x2<10
[答案]　A
[解析]　在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象(图略)，结合图象不难看出，在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－x1＝|lnx1|＝－lnx1∈(e－1,1)，e－x2＝|lnx2|＝lnx2∈(0，e－1)，e－x2－e－x1＝lnx2＋lnx1＝ln(x1x2)∈(－1,0)．于是有e－1<x1x2<e0，即<x1x2<1，选A.
5．(文)(2022·山西临汾一模)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优待10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　)
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
[答案]　D
[解析]　设进价为x元，则x(1＋10%)＝132(1－10%)，∴x＝108.
(理)(2022·北京文)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)

A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
[答案]　B
[解析]　由试验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，
所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B.
6．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．c<a<b
[答案]　B
[解析]　由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)；∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈，因此，a<c<b.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
[答案]　9
[解析]　本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等学问．
∵f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋)2＋b－的最小值为b－，∴b－＝0，即b＝，∴f(x)＝(x＋)2.
∴f(x)<c，即x2＋ax＋b<c，则(x＋)2<c，
∴c>0且－－<x<－＋，
∴(－＋)－(－－)＝6，∴2＝6，∴c＝9.
8．(文)(2021·荆州市质检)函数f(x)＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－，0)
[解析]　令f ′(x)＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1，则当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)<0，当x∈(－1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f(x)有两个零点，则微小值f(－1)<0，即－e－1－a<0，∴a>－，又x→－∞时，f(x)>0，则a<0，∴a∈(－，0)．
(理)(2021·贵州四校联考)对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点，若二次函数f(x)＝x2＋2ax＋a2没有不动点，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(，＋∞)
[解析]　令f(x)＝x得x2＋(2a－1)x＋a2＝0，若没有不动点需满足Δ＝(2a－1)2－4a2<0，解得a>.故实数a的取值范围是(，＋∞)．
9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d(km)(d<200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n(km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n的值为________.
作物
项目
水果
蔬菜
稻米
甘蔗
市场价格(元/kg)
8
3
2
1
生产成本(元/kg)
3
2
1
0.4
运输成本(元/kg·km)
0.06
0.02
0.01
0.01
单位面积相对产量(kg)
10
15
40
30
[答案]　50
[解析]　设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1＝50－0.6d，y2＝15－0.3d，y3＝40－0.4d，y4＝18－0.3d，
由⇒50≤d<200，故n＝50.
三、解答题
10．(文)当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为削减汽车尾气对城市空气的污染，某市打算对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，缘由是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说格外小．请依据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油状况是一升汽油大约能跑12km；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km；③一辆出租车日平均行程为200km.
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．
[解析]　(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，
由题意可知，W＝×2.8＝(t≥0且t∈N)，
×3≤P≤×3　(t≥0且t∈N)，
即37.5t≤P≤40t.
又>40t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱．
(2)①令37.5t＋5000＝，解得t≈545.5，
又t≥0，t∈N，∴t＝546.
②令40t＋5000＝，解得t＝750.
所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱．
(理)(2021·山西诊断)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，依据环保部门的建议，现打算在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y(g/L)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x)，其中f(x)＝，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．依据阅历，当水中药剂的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0.1，参考数据：取1.4)
[解析]　(1)由于a＝4，所以y＝.
则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4；
当4<x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8.
综上，可得0≤x≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天．
(2)当6≤x≤10时，y＝2×(5－x)＋a[－1]＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4，
由于14－x∈[4,8]，1≤a≤4，
所以4∈[4,8]，
故当且仅当14－x＝4时，y取得最小值8－a－4.
令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，
所以a的最小值为24－16≈1.6.

一、选择题
11．函数f(x)在[－2,2]内的图象如图所示，若函数f(x)的导函数f ′(x)的图象也是连续不间断的，则导函数f ′(x)在(－2,2)内有零点(　　)

A．0个 B．1个
C．2个 D．至少3个
[答案]　D
[解析]　f ′(x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(－2,2)内，有一个极大值和两个微小值，故f(x)在(－2，2)内有三个零点，故选D.
12．(文)(2022·郑州模拟)已知x0是函数f(x)＝＋lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0
[答案]　D
[解析]　∵x>0，∴f ′(x)＝＋>0，
∴f(x)在(0,1)上和(1，＋∞)上都单调递增，
∵f(x0)＝0，x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，
∴f(x1)<0，f(x2)>0.
(理)(2022·河北石家庄市模拟)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是(　　)
A．1　　 B．2　　　　
C．3　　 D．4
[答案]　B
[解析]　在同一坐标系中作出函数f(x)＝x－[x]与g(x)＝log4(x－1)的图象，∵g(2)＝0，g(5)＝1，f(2)＝0，f(5)＝0，∴两函数图象有两个交点，即h(x)有两个零点．

13．(2021·莆田市仙游一中期中)函数y＋1＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象全部交点的横坐标之积等于(　　)
A．2　　 B．8　　　　
C．4　　 D．6
[答案]　C
[解析]　y＋1＝＝＝1＋，∴y＝.
在同一坐标系中作出函数y＝与y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象如图，可知其有4个交点，由对称性知A与D、B与C分别关于点(1,0)对称，∴xA＋xB＋xC＋xD＝2×2＝4.

14．(文)已知函数f(x)＝，把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的挨次排列成一个数列，则该数列的通项公式为(　　)
A．an＝(n∈N*)
B．an＝n(n－1)(n∈N*)
C．an＝n－1(n∈N*)
D．an＝2n－2(n∈N*)
[答案]　C
[解析]　当x≤0时，f(x)＝2x－1；当0<x≤1时，f(x)＝f(x－1)＋1＝2x－1－1＋1＝2x－1；
当1<x≤2时，f(x)＝f(x－1)＋1＝f(x－2)＋2＝2x－2－1＋2＝2x－2＋1；…
∴当x≤0时，g(x)的零点为x＝0；当0<x≤1时，g(x)的零点为x＝1；
当1<x≤2时，g(x)的零点为x＝2；…当n－1<x≤n(n∈N*)时，g(x)的零点为n，
故a1＝0，a2＝1，a3＝2，…，an＝n－1.
(理)(2022·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[答案]　B
[解析]　当a＝0时，f(f(x))＝0有很多个根；当a≠0时，由f(f(x))＝0得f(x)＝1，作出函数f(x)的图象，如图所示，当a<0,0<a<1时直线y＝1与函数f(x)的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B.

15．(文)(2021·孝感模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示．

给出以下说法：
①图(2)的建议是：提高技术，并提高票价；
②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；
③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；
④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．
其中全部正确说法的序号是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案]　C
[解析]　(2)图中直线AB向上平移，当x＝0时，y值为成本值，∴成本降低，由平移知，票价不变；(3)图中，直线AB绕A点旋转，当x＝0时，y值不变，说明成本保持不变，直线斜率变大，说明票价提高了．故选C.
(理)(2021·潍坊模拟)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是(　　)

[答案]　A
[解析]　由条件知2xy＝20，∴xy＝10，
∴y＝，(2≤x≤10)，故选A.
二、填空题
16．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为________．
[答案]　(，2)
[解析]　依题意得，f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)(a>1)的图象恰有三个不同的交点．结合题意分别画出函数f(x)在(－2,6]上的图象与函数g(x)＝loga(x＋2)(a>1)的图象(如图所示)，结合图象分析可知，要使两函数的图象有三个不同的交点，则有

由此解得<a<2，即a的取值范围是(，2)．
三、解答题
17．(2022·太原模拟)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优待价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并商定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲供应的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；

②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；
③每月需各种开支2000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
[解析]　设该店月利润余额为L，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3600－2000，①
由销量图易得
Q＝
代入①式得L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5(元)，当20<P≤26时，Lmax＝元，此时P＝(元)，
故当P＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n件后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．
18．(文)(2021·东北三省第一次大联考)某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同，现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开头加工，设加工A型零件的工人有x人，在单位时间内每人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x)．
(1)试比较g(x)与h(x)大小，并写出完成总任务的时间f(x)的表达式；
(2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少？
[解析]　(1)由题意知，A型零件共需要4500个，B型零件共需要1500个，加工B型零件的工人有(214－x)人，单位时间内每人加工B型零件3k个，所以g(x)＝＝，h(x)＝＝，g(x)－h(x)＝－＝·，∵0<x<214，且x∈N*，∴当1≤x≤137时，g(x)>h(x)，当138≤x≤213时，g(x)<h(x)，
∴f(x)＝
(2)即求当x为何值时，f(x)取最小值，又(1≤x≤137)为减函数，(138≤x≤213)为增函数，
而＝·<1，
∴x＝137时，f(x)取最小值．
即加工A零件的工人137人，加工B零件的工人77人时，完成任务所需时间最少．
(理)(2022·南京模拟)如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.

(1)求x的取值范围(取1.4)；
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
[解析]　(1)由题意得，
解得，即9≤x≤15.
(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y＝a×π×(x2)2＋ax×πx2＋×[104－π×(x2)2－πx2]＝[π(－x4＋x3－12x2)＋12×104]，
令f(x)＝－x4＋x3－12x2，则f ′(x)＝－x3＋4x2－24x＝－4x(x2－x＋6)，
由f ′(x)＝0，解得x＝10或x＝15，
列表如下：
x
9
(9,10)
10
(10,15)
15
f ′(x)

－
0
＋
0
f(x)


微小值


所以当x＝10时，y取最小值．
所以当x＝10时，可使“环岛”的整体造价最低．