2021届高考数学(理科-广东)二轮专题复习配套word版训练：专题九-第1讲-函数与方程思想.docx

第1讲　函数与方程思想

1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和争辩数学中的数量关系，是对函数概念的本质生疏，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质生疏，用于指导解题就是擅长利用方程或方程组的观点观看处理问题．方程思想是动中求静，争辩运动中的等量关系．
2．和函数与方程思想亲热关联的学问点
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0
时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而争辩函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题格外重要．
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．
(4)解析几何中的很多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加亲热.

热点一　函数与方程思想在不等式中的应用
例1　(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.
(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________．
答案　(1)4　(2)(－∞，－3)∪(0,3)
解析　(1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0明显成立；
当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；
当x<0即x∈[－1,0)时，
f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，
设g(x)＝－，且g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.
(2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．
又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
所以x<0时，F(x)为增函数．
由于奇函数在对称区间上的单调性相同，
所以x>0时，F(x)也是增函数．
由于F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．
所以，由图可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．
思维升华　(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分别参数，然后利用函数值域求解．
　(1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
(2)已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y.
(2)由于函数f(x)＝x4－2x3＋3m.所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.
热点二　函数与方程思想在数列中的应用
例2　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
解　(1)由于a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，
又由于{an}是正项等差数列，故d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由于Sn＝n(n＋1)，
bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＝，
令f(x)＝2x＋(x≥1)，
则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
思维升华　(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应留意利用函数的思想求解．
　(1)(2022·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
(2)已知函数f(x)＝()x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为(　　)
A．－1 B．1
C. D．－
答案　(1)4　(2)D
解析　(1)由于a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.
(2)由题设，得a1＝f(1)－c＝－c；
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－；
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}是等比数列，
∴(－)2＝(－c)×(－)，∴c＝1.
又∵公比q＝＝，
∴an＝－()n－1＝－2()n，n∈N*.
且数列 {an}是递增数列，
∴n＝1时，an有最小值a1＝－.
热点三　函数与方程思想在几何中的应用
例3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解　(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又由于点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
所以，k的值为1或－1.
思维升华　几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常毁灭，求解此类问题的一般思路为在深刻生疏运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
　(1)(2022·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．
(2)若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(，)
C．[，] D．(，)
答案　(1)x2＋y2＝1　(2)B
解析　(1)设点B的坐标为(x0，y0)，
∵x2＋＝1，且0<b<1，
∴F1(－，0)，F2(，0)．
∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．
∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，
∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
∴x0＝－，y0＝－.
∴点B的坐标为.
将点B代入x2＋＝1，
得b2＝.
∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
(2)e2＝()2＝＝1＋(1＋)2，
由于当a>1时，0<<1，所以2<e2<5，
即<e<.

1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要依据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．
2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及争辩参数的取值范围等问题，二是在问题的争辩中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
4．很多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分别参变量.

真题感悟
1．(2022·辽宁)已知a＝2－，b＝log2，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案　C
解析　0<a＝<20＝1，b＝log2<log21＝0，
c＝>＝1，
即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.
2．(2022·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A．5 B.＋
C．7＋ D．6
答案　D
解析　如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.
令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，
解得r2＝50，
即r＝5.
由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6，
故选D.
3．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
答案　－3
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得则a＋b＝－3.
4．(2022·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)
答案　160
解析　设该长方体容器的长为x m，则宽为 m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2(x＋)×10，即y＝80＋20(x＋)(x>0)．由于x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”)，
所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．
押题精练
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案　B
解析　f′(x)>2转化为f′(x)－2>0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，
得F(x)在R上是增函数．
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)>2x＋4，
即F(x)>4＝F(－1)，所以x>－1.
2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　D
解析　可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x.
令F(x)＝x2－ln x，F′(x)＝2x－＝，
所以当0<x<时，F′(x)<0，F(x)单调递减；
当x>时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
故当x＝t＝时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小．
3．(2022·辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，－3] B．[－6，－]
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
答案　C
解析　当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，所以a≥max.
设φ(x)＝，
所以φ′(x)＝＝－＝－>0，
所以φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.所以a≥－6.
当x∈[－2,0)时，a≤，所以a≤min.
仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，φ(x)在[－2，－1)上单调递减，
当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)在(－1,0)上单调递增．
所以当x＝－1时，φ(x)有微小值，即为最小值．
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，所以a≤－2.综上知－6≤a≤－2.
4．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________．
答案　[－1,2)
解析　令f(x)＝(2－2－|x－2|)2.要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的值．∵f(x)的值域为[1,4)，∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.
5．已知函数f(x)＝ax2＋ax和g(x)＝x－a，其中a∈R，且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值．
解　依题意，f(x)＝g(x)，即ax2＋ax＝x－a，
整理得ax2＋(a－1)x＋a＝0，①
∵a≠0，
函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，
∴Δ>0，即Δ＝(a－1)2－4a2＝－3a2－2a＋1＝(3a－1)·(－a－1)>0，
∴－1<a<且a≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
且x1<x2，
由①得x1x2＝1>0，x1＋x2＝－.
设点O到直线g(x)＝x－a的距离为d，则d＝，
∴S＝|x1－x2|·＝
＝ .∵－1<a<且a≠0，∴当a＝－时，S取得最大值.
即△OAB的面积S的最大值为.
6.如图，已知椭圆G：＋＝1(a>1)，⊙M：(x＋1)2＋y2＝1，P为椭圆G上一点，过P作⊙M的两条切线PE、PF，E、F分别为切点．
(1)求t＝||的取值范围；
(2)把·表示成t的函数f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值．
解　(1)设P(x0，y0)，则＋＝1(a>1)，∴y＝(a2－1)，
∴t2＝||2＝(x0＋1)2＋y＝(x0＋1)2＋(a2－1)＝2，
∴t＝.
∵－a≤x0≤a，∴a－1≤t≤a＋1(a>1)．
(2)∵·＝||||cos∠EPF＝||2(2cos2∠EPM－1)
＝(||2－1)
＝(t2－1)＝t2＋－3，
∴f(t)＝t2＋－3(a－1≤t≤a＋1)．
对于函数f(t)＝t2＋－3(t>0)，明显在t∈(0，]时，f(t)单调递减，
在t∈[，＋∞)时，f(t)单调递增．∴对于函数f(t)＝t2＋－3(a－1≤t≤a＋1)，
当a>＋1，即a－1>时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋，
[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋；
当≤a≤＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋，
[f(t)]min＝f()＝2－3；
当1<a< 时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋，
[f(t)]min＝f()＝2－3.