2021高考数学(文理通用)一轮课时作业37-直线、平面垂直的判定及其性质.docx

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(三十七)
直线、平面垂直的判定及其性质
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2021·沈阳模拟)已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,则“α∥β”是“l⊥m”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当α∥β,l⊥α时,有l⊥β,
又m⊂β,故l⊥m.
反之,当l⊥m,m⊂β时,不愿定有l⊥β,
故α∥β不愿定成立.
因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.
2.(2021·台州模拟)点M在矩形ABCD所在平面内,M和A在直线CD的两侧,MN⊥平面ABCD,则∠NCB是(　　)
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.不是钝角
【解析】选C.M点与A点在CD两侧,
而MN⊥平面ABCD,
说明线MN与A点在CD两侧,∠MCB>90°,又∠NCB>∠MCB,所以连BN,CN知其为钝角.
3.如图PA⊥正方形ABCD,下列结论中不正确的是(　　)

A.PB⊥BC B.PD⊥CD
C.PD⊥BD D.PA⊥BD
【解析】选C.由CB⊥BA,CB⊥PA,PA∩BA=A,知CB⊥平面PAB,故CB⊥PB,即A正确;同理B正确;由条件易知D正确,故选C.
4.下列命题中错误的是(　　)
A.假如平面α⊥平面β,那么平面α内确定存在直线平行于平面β
B.假如平面α不垂直于平面β,那么平面α内确定不存在直线垂直于平面β
C.假如平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.假如平面α⊥平面β,那么平面α内全部直线都垂直于平面β
【解析】选D.当平面α⊥平面β时,设其交线为l,平面α内平行于l的直线均平行于平面β,我们简洁找到这样的直线,故选项A正确,而选项D错误.对于选项B可以利用反证法:若存在,则α⊥β,故选项B正确.对于选项C,如图所示,在平面α内作直线m⊥平面γ,在平面β内作直线n⊥平面γ,可得m∥n,m⊂α,n⊄α,所以n∥α,n⊂β,α∩β=l,所以n∥l,所以l⊥γ.
5.(2021·宁波模拟)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(　　)
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直
【思路点拨】可取一长方形动手依据其要求进行翻折,观看其翻折过程.
【解析】选B.分别取AD,AC,BC的中点E,F,G,则EF∥CD,FG∥AB,且EF=FG=12,未翻折之前EG=1,翻折过程中应有EG=22的时候,也即存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直.
6.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于
△ACB所在平面,那么(　　)

A.PA=PB>PC
B.PA=PB<PC
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
【解析】选C.由于M为AB的中点,△ACB为直角三角形,所以BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC,所以Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.选C.
7.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为(　　)
A.33 B.233 C.433 D.533
【解析】选C.如图所示,

由题意知,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=22.取SC的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥S-ABC的体积为两个棱锥S-ABD和C-ABD的体积和,所以棱锥S-ABC的体积V=13SC·S△ADB=13×4×3=433.
【加固训练】(2021·湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角B-AC-D的余弦值为(　　)

A.13　　 B.12 C.223　 D.32
【解析】选A.在菱形ABCD中连接BD交AC于O点,则AC⊥BD,在折起后的图中,由四边形ABCD为菱形且边长为1,则DO=OB=32,由于DO⊥AC,BO⊥AC,因此∠DOB就是二面角B-AC-D的平面角,由BD=1得
cos∠DOB=OD2+OB2-DB22OD·OB=34+34-12×32×32=13.
8.(力气挑战题)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是(　　)

A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四周体A′-BCD的体积为13
【解析】选B.取BD的中点O,连接OA′,OC,由于A′B=A′D,

所以A′O⊥BD.又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,
所以A′O⊥平面BCD.
由于CD⊥BD,
所以OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD,
由于OC为A′C在平面BCD内的射影,
所以OC⊥BD,冲突,所以A′C不垂直于BD,A错误;
由于CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,
所以CD⊥平面A′BD,A′C在平面A′BD内的射影为A′D.
由于A′B=A′D=1,BD=2,
所以A′B⊥A′D,A′B⊥A′C,B正确;∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°,C错误;
VA′-BCD=VC-A′BD=13S△A′BD·CD=16,D错误.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2021·青岛模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足
　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
【解析】由定理可知,BD⊥PC.
所以当DM⊥PC时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案:DM⊥PC(答案不唯一)
10.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:　　　　　.
【解析】由题意构作四个命题:
(1)①②③⇒④;
(2)①②④⇒③;
(3)①③④⇒②;
(4)②③④⇒①.
易推断(3),(4)为真,应填①③④⇒②(或②③④⇒①).
答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)
11.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD的中点,则异面直线AE,BC所成角的正切值为　　　　.
【解析】如图所示,取BD中点O,连接AO,OE,

则AO⊥BD.
由于平面ABD⊥平面CBD,所以AO⊥平面BCD,
又OE∥BC,
所以∠AEO即为AE,BC所成的角.
设正方形的边长为2,则OE=1,AO=2.
所以tan∠AEO=2.
答案:2
12.(力气挑战题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以
∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=　　　　　　时,CF⊥平面B1DF.

【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF,
只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,设AF=x,
则A1F=3a-x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得ACA1F=AFA1D,
即2a3a-x=xa,
整理得x2-3ax+2a2=0,
解得x=a或x=2a.
答案:a或2a
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2021·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD.
(2)BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】(1)由于平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(2)由于AB∥CD,E为CD中点,CD=2AB,
所以AB∥DE且AB=DE,
所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.
又由于AD⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(3)由于AB⊥AD,而平面PAD⊥平面ABCD,交线AD,
所以BA⊥平面PAD,
由于AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥PD且CD⊥AD,
又由于在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE.
由于在平面ABCD中,BE∥AD,于是CD⊥BE.
由于FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF,
又由于CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
14.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.
(1)求证:DP⊥平面EPC.
(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC?若存在,求出FPAP的值.
【解析】(1)由于EP⊥平面ABCD,
所以EP⊥DP,
又四边形ABCD为矩形,AB=2BC,
P,Q为AB,CD的中点,
所以PQ⊥DC,且PQ=12DC,
所以DP⊥PC.
由于EP∩PC=P,
所以DP⊥平面EPC.
(2)如图,假设存在F使平面AFD⊥平面BFC,
由于AD∥BC,AD⊄平面BFC,
BC⊂平面BFC,
所以AD∥平面BFC,
所以AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.
由于EP⊥平面ABCD,
所以EP⊥AD,而AD⊥AB,AB∩EP=P,
所以AD⊥平面FAB,
所以l⊥平面FAB,
所以∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角.
由于P是AB的中点,且FP⊥AB,
所以当∠AFB=90°时,FP=AP,
所以当FP=AP,即FPAP=1时,
平面AFD⊥平面BFC.
15.(2021·牡丹江模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q为AD的中点.

(1)求证:AD⊥平面PQB.
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PM=12PC,求四棱锥M-ABCD的体积.
【解析】(1)连接BD,
由于PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,
所以PQ⊥AD.
又由于∠BAD=60°,底面ABCD为菱形,
所以△ABD是等边三角形,
由于Q为AD的中点,
所以AD⊥BQ.
由于PQ,BQ是平面PQB内的相交直线,
所以AD⊥平面PQB.
(2)连接QC,作MH⊥QC于H.
由于平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,
所以PQ⊥平面ABCD,结合QC⊂平面ABCD,可得PQ⊥QC.
由于在平面PQC中,MH⊥QC且PQ⊥QC,
所以PQ∥MH,可得MH⊥平面ABCD,即MH就是四棱锥M-ABCD的高,
由于PM=12PC,可得MH=12PQ=12×32×2=32,
所以四棱锥M-ABCD的体积为VM-ABCD=13×12AC×BD×MH=16×23×2×32=1.
关闭Word文档返回原板块