【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题2(函数与基本初等函数).docx

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f(x)＝，则f(f(10))＝(　　)
A．lg101　　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
[答案]　B
[解析]　利用“分段”求值．由题意知f(10)＝lg10＝1，f(1)＝1＋1＝2，
故f(f(10))＝f(1)＝2.
2．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是(　　)
A．[－4,4]　 B．[－2,2]
C．[－4，－2] D．[2,4]
[答案]　B
[解析]　由得－2≤x≤2.
3．函数y＝lg的大致图像为(　　)

[答案]　D
[解析]　函数的定义域为{x|x≠－1}，排解A，C．取特殊值x＝9，则y＝－1<0，排解B，选D．
4．(文)(2022·广东高考)下列函数为奇函数的是(　　)
A．2x－　 B．x3sinx
C．2cosx＋1 D．x2＋2x
[答案]　A
[解析]　本题考查函数奇偶性的推断．
设函数为f(x)，则A中f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)为奇函数；B中f(－x)＝2cosx＋1＝f(x)为偶函数；C中f(－x)＝x3sinx＝f(x)为偶函数；D中f(－x)＝x2＋2－x≠±f(x)，非奇非偶，选A．
(理)(2022·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3　 B．－1
C．1 D．3
[答案]　C
[解析]　分别令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，则
⇒⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C．
5．(文)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[答案]　D
[解析]　由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，
即log2x＝3，解得x＝8，
所以x－＝8－＝＝＝，选D．
(理)已知集合A＝{x∈R|2x<e}，B＝{x∈R|>1}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x∈R|0<x<log2e}　 B．{x∈R|0<x<1}
C．{x∈R|1<x<log2e} D．{x∈R|x<log2e}
[答案]　B
[解析]　由于集合A＝{x∈R|2x<e}＝{x∈R|x<log2e}．
B＝{x∈R|>1}＝{x∈R|0<x<1}，
所以A∩B＝{x∈R|0<x<1}．
6．已知函数f(x)＝ln(＋a)(a为常数)是奇函数，则实数a为(　　)
A．1　 B．－3
C．3 D．－1
[答案]　D
[解析]　函数在x＝0处有意义，所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，得a＝－1.
7．设P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则(　　)
A．Q<R<P　 B．R<Q<P
C．Q<P<R D．R<P<Q
[答案]　B
[解析]　题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y＝log2x，y＝log3x，它们都是增函数，从而知0<log32<1，log23>1，log2(log32)<0，因此选B．
8．设函数f(x)＝，若f(4)＝f(0)，f(2)＝2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点的个数是(　　)
A．0　 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　由于f(4)＝f(0)，f(2)＝2，
所以16＋4b＋c＝c且4＋2b＋c＝2，解得b＝－4，c＝6，
即f(x)＝.
当x≥0时，由g(x)＝f(x)－x＝0得x2－4x＋6－x＝0，即x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.
当x<0时，由g(x)＝f(x)－x＝0得1－x＝0，解得x＝1，不成立，舍去．
所以函数的零点个数为2个，选C．
9．(文)(2022·全国大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)
A．－2　 B．－1
C．0 D．1
[答案]　D
[解析]　本题考查了抽象函数的性质与图像．
∵f(x)是奇函数，f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．
∴f(x)的对称轴为x＝2，结合图像知x＝－2也是f(x)的对称轴．
∴f(8)＝f(－4)＝f(0)＝0
f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝f(1)＝1.
∴f(8)＋f(9)＝1，由函数的奇偶性得出对称轴，从而求出结论．
(理)(2022·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)

A．3.50分钟　 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
[答案]　B
[解析]　由试验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图像过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，
分别代入解析式，得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，
所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B．
10．(文)(2022·东北三校联考)能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是(　　)
A．f(x)＝ex＋e－x　 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝tan D．f(x)＝4x3＋x
[答案]　A
[解析]　由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图像不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不为“和谐函数”；B中，f(0)＝lnln1＝0，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，
所以f(x)＝ln为“和谐函数”；C中f(0)＝tan0＝0，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)为奇函数，
故f(x)＝tan为“和谐函数”；D中，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”；故选A．
(理)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为(　　)
A．γ>α>β　 B．β>α>γ
C．α>β>γ D．β>γ>α
[答案]　A
[解析]　g′(x)＝1，所以由g(α)＝g′(α)得α＝1.h′(x)＝，所以由h(β)＝h′(β)得ln(β＋1)＝，

由图像可知0<β<1，φ′(x)＝3x2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ2>0，即γ>1，所以γ>α>β，选A．
第Ⅱ卷(非选择题　共100分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
11．(文)计算3log32＋lg－lg5的结果为________．
[答案]　1
[解析]　由对数恒等式知3log32＝2，依据对数运算法则知lg－lg5＝lg(÷5)＝lg＝－1，
∴3 log32＋lg－lg5＝2－1＝1.
(理)方程＋＝3x－1的实数解为________．
[答案]　x＝log34
[解析]　两边同乘以3(3x－1)，整理得：
(3x)2－2·3x－8＝0，解得x＝log34.
12．(2021·常德模拟)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________.
[答案]　2
[解析]　由题意知m2－2m－3为奇数且m2－2m－3<0，由m2－2m－3<0，得－1<m<3，又m∈N*，故m＝1,2.
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．
当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3.符合要求．
13．已知函数f(x)＝x2－|x|，若f(－m2－1)<f(2)，则实数m的取值范围是________．
[答案]　(－1,1)
[解析]　依据已知函数f(x)＝x2－|x|，那么可知f(－x)＝x2－|x|＝f(x)，
因此是偶函数，同时可知在对称轴的右侧是递增的，在对称轴的左侧是递减的，
那么可知f(－m2－1)<f(2)等价于|－m2－1|<2，
∴－2<m2＋1<2解得m的范围是(－1,1)．
14．(文)已知函数f(x)＝，则满足方程f(a)＝1的全部a的值为________．
[答案]　0或3
[解析]　当a>0时，f(a)＝log3a＝1，解得a＝3；
当a≤0时，f(a)＝()a＝1，解得a＝0.
综上a＝0或3.
(理)已知方程x2＋2x＋2a－1＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为________．
[答案]　[－7，－1)
[解析]　由x2＋2x＋2a－1＝0，参变量分别得
2a＝－(x＋1)2＋2，
记f(x)＝－(x＋1)2＋2，且x∈(1,3]，
所以－14≤f(x)≤－2，即－14≤2a<－2.
故实数a的取值范围为[－7，－1)．
15．(文)(2022·天津高考)已知函数f(x)＝
若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
[答案]　1<a<2　
[解析]　本题考查确定值函数与分段函数的零点，接受数形结合思想．
如图，f(x)图像为

当y＝ax与y＝2(x－2)(x>2)平行时，a＝2，f(x)与y＝a|x|，共3个交点，∴a<2.
当y＝－2x与y＝x2－5x－4相切时，令Δ＝0，a＝1，此时f(x)与y＝|a|x有5个交点，则当1<a<2时，两函数图像有4个交点．
∴1<a<2.
(理)(2022·天津高考)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
[答案]　(0,1)∪(9，＋∞)
[解析]　解法一：明显有a>0，
(ⅰ)当y＝－a(x－1)与y＝－x2－3x相切时，a＝1，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有3个互异的实数根．
(ⅱ)当直线y＝a(x－1)与函数y＝x2＋3x相切时，a＝9，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有2个互异的实数根．
结合图像可知0<a<1或a>9.

解法二：明显x≠1，所以a＝||，
令t＝x－1，则a＝|t＋＋5|.
由于t＋∈(－∞，－4])∪[4，＋∞)，
所以t＋＋5∈(－∞，1]∪[9，＋∞)．
令t＋＝－5得t＝－1或－4，结合图像可得0<a<1或a>9.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)用定义证明函数f(x)＝x2＋2x－1在(0,1]上是削减的．
[解析]　证明一个函数为单调函数，依据定义设x1，x2为所给区间上的任意两个实数，且x1<x2，然后作差f(x1)－f(x2)，但确定要留意的是，对差f(x1)－f(x2)，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个简洁推断正负的因式之积，从而很快可以得出差f(x1)－f(x2)是正是负．
证明：设x1<x2，且x1，x2∈(0,1]，则
x2－x1>0,0<x1x2<1，x1＋x2<2，－(x1＋x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)＝x＋2x－x－2x
＝(x－x)＋2(－)
＝(x2－x1)[－(x1＋x2)]>0.
∴函数f(x)＝x2＋2x－1在(0,1]上是削减的．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝()ax，a为常数，且函数的图像过点(－1,2)．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
[解析]　(1)由已知得()－a＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝()x，又g(x)＝f(x)，
则4－x－2＝()x，即()x－()x－2＝0，
即[()x]2－()x－2＝0.
令()x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0.
又t>0，故t＝2，即()x＝2，解得x＝－1.
18．(本小题满分12分)函数f(x)＝x2－2x，x∈[0，b]，且该函数的值域为[－1,3]，求b的值．
[解析]　作出函数f(x)＝x2－2x，x∈[0，b]的图像如图．

由图可知，区间右端点必为函数最大值的对应点的横坐标．
∴f(b)＝3，即b2－2b＝3，∴b＝－1或b＝3.
又－1∉[0，b]，∴b＝3.
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a>0，a≠1)．
(1)求a，k的值；
(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值．
[解析]　(1)由题得
由②得log2a＝0或log2a＝1，
解得a＝1(舍去)或a＝2，
由a＝2得k＝2.
(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(lg2x－)2＋，
当log2x＝即x＝时，f(logax)有最小值，最小值为.
(理)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，试确定实数m的范围．
[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
∴∴
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立．
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
其图像的对称轴为直线x＝，
∴g(x)在[－1,1]上递减．即只需g(1)>0，
即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1.
所以m的取值范围为m∈(－∞，－1)．
20．(本小题满分13分)某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜想，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么支配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
[解析]　设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
21．(本小题满分14分)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；
(2)若关于x的方程F(x)－m＝0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2loga(x＋1)＋loga(a>0且a≠1)由解得－1<x<1，
所以函数F(x)的定义域为(－1,1)．
令F(x)＝0，则2loga(x＋1)＋loga＝0(*)方程变为loga(x＋1)2＝loga(1－x)，(x＋1)2＝1－x，
即x2＋3x＝0，
解得x1＝0，x2＝－3.
经检验x＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x＝0，
所以函数F(x)的零点为0.
(2)m＝2loga(x＋1)＋loga(0≤x<1)
m＝loga＝loga(1－x＋－4)，
am＝1－x＋－4，
设1－x＝t∈(0,1]，
则函数y＝t＋在区间(0,1]上是减函数，
当t＝1时，此时x＝1，ymin＝5，所以am≥1.
①若a>1，则m≥0，方程有解；
②若0<a<1，则m≤0，方程有解．