【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章-第8节-曲线与方程(理).docx
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第八章 第八节 一、选择题 1.方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线 [答案] D [解析] 原方程化为 或-1=0, ∴2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故选D. 2.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=2,则点C的轨迹是( ) A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 [答案] C [解析] 设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a2+b2=9,① 又=2,所以(x-a,y)=2(-x,b-y), 则② 把②代入①式整理可得:x2+y2=1.故选C. [点评] 关于轨迹方程的问题 (1)定义法求轨迹方程 ①设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内确定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( ) A.-=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 [答案] D [解析] M为AQ垂直平分线上一点, 则|AM|=|MQ|. ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,(5>|AC|) ∴a=,c=1,则b2=a2-c2=, ∴椭圆的标准方程为+=1.故选D. ②若点P到直线y=-2的距离比它到点A(0,1)的距离大1,则点P的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [答案] D [解析] 由条件知,点P到直线y=-1的距离与它到点A(0,1)的距离相等,∴P点轨迹是以A为焦点,直线y=-1为准线的抛物线. ③(2021·湘潭模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一动点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 [答案] A [解析] 由条件知|PM|=|PF|, ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆. ④已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. [分析] 设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+r1,|MC2|=r-r2,则|MC1|-|MC2|=r1+r2=定值,故可用双曲线定义求解轨迹方程. [解析] 如图,设动圆M的半径为r, 则由已知得|MC1|=r+, |MC2|=r-. ∴|MC1|-|MC2|=2. 又C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8,∴2<|C1C2|. 依据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a=,c=4,∴b2=c2-a2=14, ∴点M的轨迹方程是-=1(x≥). (2)直译法求轨迹方程. ⑤已知平面上两定点A、B的距离是2,动点M满足条件·=1,则动点M的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 [答案] B [解析] 以线段AB中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y), ∵·=1,∴(-1-x,-y)·(1-x,-y)=1, ∴x2+y2=2,故选B. ⑥设x1、x2∈R,常数a>0,定义运算“*”,x1]x*a))的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 [答案] D [解析] ∵x1]x*a)==2, 则P(x,2). 设P(x1,y1),即,消去x得, y=4ax1(x1≥0,y1≥0), 故点P的轨迹为抛物线的一部分.故选D. ⑦已知log2x、log2y、2成等差数列,则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为( ) [答案] A [解析] 由log2x,log2y,2成等差数列得 2log2y=log2x+2 ∴y2=4x(x>0,y>0),故选A. ⑧(2022·广州模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x≠±2) D.x2+y2=4(x≠±2) [答案] D ⑨(2022·上海徐汇一模)在平面直角坐标系中,动点P和点M(-2,0),N(2,0)满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为________. [答案] y2=-8x [解析] 由题意可知=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y),由||·||+·=0,可知4+4(x-2)=0,化简,得y2=-8x. (3)代入法求轨迹方程 ⑩动点A在圆x2+y2=1上移动,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.+y2= [答案] C [解析] 设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y), ∵A在圆x2+y2=1上, ∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1,故选C. ⑪平面直角坐示系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 [答案] A [解析] 设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3), ∵=λ1+λ2, ∴,解得 又λ1+λ2=1, ∴x+2y-5=0,表示一条直线. ⑫设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是________. [答案] x2-4y2=1 [解析] 设M(x,y),则P(2x,2y),代入双曲线方程得x2-4y2=1,即为所求. ⑭如右图所示,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程. [分析] 直接求P的轨迹方程不好找关系,可利用Q,P,N三者之间的对称关系及直线的垂直关系求解. [解析] 设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则N点的坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵点N在直线x+y=2上, ∴2x-x1+2y-y1=2,① 又∵PQ垂直于直线x+y=2, ∴=1.即x-y+y1-x1=0.② 由①、②联立,解得 又Q在双曲线x2-y2=1上, ∴x-y=1, 即(x+y-1)2-(x+y-1)2=1整理得 2x2-2y2-2x+2y-1=0,这就是所求动点P的轨迹方程. 3.(2022·山东青岛一模)如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [答案] B [解析] 由题意可知,p=4,F(2,0),P(2,4),Q(2,-4),QN:y=-4,直线QN,MN关于l:x-y-10=0对称,即直线l平分直线QN,MN的夹角,所以直线MN垂直于y轴.解得N(6,-4),故x0等于6.故选B. 4.(2022·北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点D,E分别在线段OC,AB上运动,且OD=BE,设AD与OE交于点G,则点G的轨迹方程是( ) A.y=x(1-x)(0≤x≤1) B.x=y(1-y)(0≤y≤1) C.y=x2(0≤x≤1) D.y=1-x2(0≤x≤1) [答案] A [解析] 设D(0,λ),E(1,1-λ)(0≤λ≤1),所以线段AD方程为y=-λx+λ(0≤x≤1),线段OE方程为y=(1-λ)x(0≤x≤1),联立方程组 (λ为参数),消去参数λ得点G的轨迹方程为y=x(1-x)(0≤x≤1),故A正确. 5.(2022·合肥模拟)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ) A.[-,] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] [答案] C [规范解答] 由题意得Q(-2,0). 设l的方程为y=k(x+2),代入y2=8x得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, ∴当k=0时,直线l与抛物线恒有一个交点; 当k≠0时,Δ=16(k2-2)2-16k4≥0,即k2≤1, ∴-1≤k≤1,且k≠0, 综上-1≤k≤1. 6.(2022·河南开封其次次模拟)已知双曲线M:-=1和双曲线N:-=1,其中b>a>0,且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线M的离心率是( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] 解方程组得x2=,由=c2,化简得--1=0.所以=,∴e====. 二、填空题 7.P是椭圆+=1上的任意一点,F1、F2是它的两个焦点,O为坐标原点,=+,则动点Q的轨迹方程是________. [答案] +=1 [解析] 设F1(-c,0),F2(c,0),Q(x,y),P(x1,y1), ∴=(-c-x1,-y1),=(c-x1,-y1),=(x,y), 由=+得, ∴ 代入椭圆方程+=1中得,+=1. 8.(2022·北京模拟)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________. [答案] -=1(x>3) 9.已知A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点,则动点P的轨迹C的方程为________. [答案] +y2=1 [解析] 设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2). ∵P是线段AB的中点,∴① ∵A、B分别是直线y=x和y=-x上的点, ∴y1=x1和y2=-x2. 代入①中得,② 又||=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12. ∴12y2+x2=12,∴动点P的轨迹C的方程为+y2=1. 三、解答题 10.如图所示,在平面直角坐标系中,N为圆A:(x+1)2+y2=16上的一动点,点B(1,0),点M是BN的中点,点P在线段AN上,且·=0. (1)求动点P的轨迹方程; (2)试推断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系,并说明理由. [解析] (1)∵点M是BN中点,又·=0, ∴PM垂直平分BN,∴|PN|=|PB|, 又|PA|+|PN|=|AN|,∴|PA|+|PB|=4,由椭圆定义知,点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. 设椭圆方程为+=1, 由2a=4,2c=2可得,a2=4,b2=3. 可得动点P的轨迹方程为+=1. (2)设PB中点为C,则|OC|=|AP|= (|AN|-|PN|)=(4-|PB|)=2-|PB|. ∴两圆内切. 一、解答题 11.(2021·宁夏育才中学模拟)已知平面上确定点C(-1,0)和确定直线l:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,(+2)·(-2)=0. (1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线方程; (2)点O是坐标原点,A、B两点在点P的轨迹上,若+λ=(1+λ),求λ的取值范围. [解析] (1)由(+2)·(-2)=0,得2-42=0. 设P(x,y),则(x+4)2-4[(x+1)2+y2]=0,化简得+=1,即点P在椭圆上,其方程为+=1. (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2), ∵+λ=(1+λ),∴+λ=0, ∴(x1+1,y1)+λ(x2+1,y2)=0,∴ 由于+=1,所以+=1,① 又由于+=1,所以+=λ2,② 由①-②得=1-λ2,化简得x2=.由于-2≤x2≤2,所以-2≤≤2, 解得≤λ≤3,所以λ的取值范围为[,3]. 12.(2022·大纲全国理)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程. [解析] (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得,y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E(+2m2+3,-).|MN|=|y3-y4|=. 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 即4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2= 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 13.(2022·江西鹰潭二模)如图,A(-m,m),B(n,n)两点分别在射线OS,OT上移动,且·=-,O为坐标原点,动点P满足=+. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)设Q(x0,),过Q作(1)中曲线C的两条切线,切点分别为M,N,①求证:直线MN过定点;②若·=-7,求x0的值. [解析] (1)由已知得·=-3mn+mn=-,得mn=. 设点P坐标为(x,y)(y>0),由=+,得(x,y)=(-m,m)+(n,n)=((n-m),m+n). ∴消去m,n,可得y2-=1(y>0), ∴轨迹C的方程为y2-=1(y>0). (2)由(1)知,y=,即y′=. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 kQM==,kQN==. ∴lQM:y=(x-x1)+y1,即lQM:x1x-3y1y+3=0. ∵Q在直线QM上,∴x0x1-y1+3=0,① 同理可得x0x2-y2+3=0.② 由①②可知,lMN:x0x-y+3=0, ∴直线MN过定点(0,2). 由以上可知,设直线MN的方程为y=kx+2,易知k=,且|k|<,将直线MN的方程代入曲线C的方程得(3k2-1)x2+12kx+9=0. ∴x1+x2=-,x1x2=. 又·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4==-7, ∴k=±,∴x0=±. 14.(2022·鹤壁淇县检测)如图所示,已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心,点A(,0),P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP所在直线上,且·=0,=2.当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程. [解析] 圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-,0),半径r=2, ∵·=0,=2,∴MQ⊥AP,点M是AP的中点,即QM是线段AP的中垂线,连接AQ,则|AQ|=|QP|,∴||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=2, 又|AC|=2>2,依据双曲线的定义,点Q的轨迹是以C(-,0),A(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,由c=,a=1,得b2=1, 因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.- 配套讲稿:
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