2021届高考数学(理科-全国通用)二轮专题配套word版练习：-概率与统计.docx

概率与统计

1．随机抽样方法
简洁随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．
[问题1]　某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．
答案　24
解析　由抽样比例可知＝，则x＝24.
2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观看图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应留意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清楚了．
[问题2]　从某校高三班级随机抽取一个班，对该班50名同学的高校招生体检表中视力状况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班同学中能报A专业的人数为________．

答案　20
3．众数：在一组数据中，毁灭次数最多的数据叫做这组数据的众数．
众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．
平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和．
标准差的平方就是方差，方差的计算
(1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
(2)简化计算公式①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．
[问题3]　已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________．
答案　0.15、0.145
4．变量间的相关关系
假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．回归方程＝x＋，
其中
[问题4]　回归直线方程＝x＋必经过点________．
答案　(，)
5．独立性检验的基本方法
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表如表：

y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
依据观测数据计算由公式k＝所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度．
[问题5]　为了解某班同学宠爱打篮球是否与性别有关，对该班50名同学进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：

宠爱打篮球
不宠爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
则至少有________的把握认为宠爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示)
附：K2＝
P(K2>k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
答案　99.5%
6．互斥大事有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
(1)公式适合范围：大事A与B互斥．
(2)P()＝1－P(A)．
[问题6]　抛掷一枚骰子，观看掷出的点数，设大事A为毁灭奇数点，大事B为毁灭2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则毁灭奇数点或2点的概率之和为________．
答案　
7．古典概型
P(A)＝(其中，n为一次试验中可能毁灭的结果总数，m为大事A在试验中包含的基本大事个数)
[问题7]　若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则毁灭向上的点数之和为4的概率为________．
答案　
8．几何概型
一般地，在几何区域D内随机地取一点，记大事“该点在其内部一个区域d内”为大事A，则大事A发生的概率为P(A)＝.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．
即P(A)＝
[问题8]　在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A. B．1－
C. D．1－
答案　B
解析　记“点P到点O的距离大于1”为A，
P(A)＝＝1－.
9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序支配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法．
(1)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝，其中m，n∈N*，m≤n.当m＝n时，A＝n·(n－1)·……·2·1＝n！，规定0！＝1.
(2)组合数公式
C＝＝
＝.
(3)组合数性质
C＝C，C＋C＝C，规定C＝1，其中m，n∈N*，m≤n.
[问题9]　(1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．
(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种．
答案　(1)35　(2)70
10．二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn (n∈N*)．
通项(开放式的第r＋1项)：Tr＋1＝Crnan－rbr，其中C(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．
(2)二项式系数的性质
①在二项式开放式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.
②二项式系数的和等于2n(组合数公式)，即
C＋C＋C＋…＋C＝2n.
③二项式开放式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
特殊提示：二项式系数最大项与开放式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往由于概念不清导致出错．
[问题10]　设6的开放式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝________.
答案　4∶1
解析　Tr＋1＝Cx6－r(－1)rr
＝C(－1)r2r，6－r＝3，r＝2，系数A＝60，二项式系数B＝C＝15，所以A∶B＝4∶1.
4∶1.
11．要留意概率P(A|B)与P(AB)的区分：
(1)在P(A|B)中，大事A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，大事A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，大事B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
[问题11]　设A、B为两个大事，若大事A和B同时发生的概率为，在大事A发生的条件下，大事B发生的概率为，则大事A发生的概率为________．
答案　
12．求分布列，要检验概率的和是否为1，假如不是，要重新检查修正．还要留意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．
假如大事A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk·(1－p)n－k.
[问题12]　若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
答案　
解析　依据概率之和为1，求出x＝，
则E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋…＋5x＝40x＝.
13．一般地，假如对于任意实数a<b，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃφμ，σ(x)dx，则称X的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．假如随机变量X听从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
[问题13]　已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
答案　C
解析　∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.

易错点1　统计图表识图不准致误
例1　如图所示是某公司(共有员工300人)2022年员工年薪状况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．

错解　由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.
∴估量年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．
找准失分点　本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．
正解　由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.
所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)．
答案　72
易错点2　在几何概型中“测度”确定不准致误
例2　如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．
错解　记AM<AC为大事E，设CA＝CB＝a，由于△ABC是直角三角形，
所以，AB＝a，
在AB上取一点D，使AD＝AC＝a，那么对线段AD上的任意一点M都有AM<AD，即AM<AC，
因此AM<AC的概率为P(E)＝＝＝.
找准失分点　据题意，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，射线CM在∠ACB内部均匀分布，但是点M在AB上的分布不是均匀的．
正解　在AB上取一点D，使AD＝AC，由于AD＝AC＝a，∠A＝，
所以∠ACD＝∠ADC＝，
则P(E)＝＝＝.
易错点3　分不清是排列还是组合致误
例3　如图所示，A，B，C，D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？
错解　对于有一个中心的结构形式有A，对于四个岛依次相连的形式有A，
∴共有2A＝48(种)．
找准失分点　没有分清是排列还是组合．
正解　由题意可能有两种结构，如图：
第一种：，其次种：
对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的状况，共有C种方法．
对于其次种结构，有CA种方法．
∴总共有C＋CA＝16(种)．
易错点4　均匀分组与非均匀分组混淆致误
例4　4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答)
错解　288
找准失分点　没有考虑均匀分组：CCC·A＝288.
正解　把4个球分成3组，每组至少1个，即分的小球个数分别为2,1,1的3组，有种．最终将三组球放入4个盒中的3个，有支配方法数A种，因此，放法共有×A＝144(种)．
答案　144

1．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
答案　D
解析　对样本中每个数据都加上一个非零常数时不转变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生转变．
2．(2022·湖北)依据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的线性回归方程为＝x＋，则(　　)
A.>0，>0 B.>0，<0
C.<0，>0 D.<0，<0
答案　B
解析　作出散点图如下：

观看图象可知，回归直线＝x＋ 的斜率 <0，
当x＝0时，＝ >0.故>0，<0.
3．(2022·湖北)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，

易知C(－，)，故由几何概型的概率公式，
得所求概率
P＝＝＝.
4．(2022·湖南)(x－2y)5的开放式中x2y3的系数是(　　)
A．－20 B．－5 C．5 D．20
答案　A
解析　(x－2y)5开放式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝C·()5－r·(－2)r·x5－r·yr.
当r＝3时，C()2·(－2)3＝－20.
5.如图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为＝＝.
故选C.
6．(2022·福建)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

答案　
解析　由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2[e－e－(0－1)]＝2.
又该正方形面积为e2，
故由几何概型的概率公式可得所求概率为.
7．(2022·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．
答案　
解析　从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P＝＝＝.
8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面开放图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面开放图内的概率是，则此长方体的体积是________．

答案　3
解析　设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面开放图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.
9．已知某人投篮的命中率为，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．
答案　
解析　该人投篮4次，命中3次的概率为
P1＝C3＝；
该人投篮4次，命中4次的概率为P2＝C4＝，
故至少命中3次的概率是P＝＋＝.
10．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估量在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)

答案　300
解析　由图可知，车速大于等于90 km/h的车辆未标出频率，而小于90 km/h的都标出了，故考虑对立大事．由题图知车速小于90 km/h的汽车总数的频率之和为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以车速不小于90 km/h的汽车总数的频率之和为1－0.7＝0.3.因此在这一时段内通过该站的车速不小于90 km/h的汽车有1 000×0.3＝300(辆)．