2021高考数学(福建-理)一轮学案16-定积分及其简单的应用.docx
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1、学案16定积分及其简洁的应用导学目标: 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景精确理解定积分的概念.2.理解定积分的简洁性质并会简洁应用.3.会说出定积分的几何意义,能依据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则,反方向求使F(x)f(x)的F(x),并运用牛顿莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能娴熟运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功自主梳理1定积分的几何意义:假如在区间a,b上函数f(x)连续且恒有f(x)0,那么函数f(x)在区间a,b上的定积分的几何意义是直线_所围成的曲边梯形的_2
2、定积分的性质(1)kf(x)dx_ (k为常数);(2)f1(x)f2(x)dx_;(3)f(x)dx_.3微积分基本定理一般地,假如f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)f(x),那么f(x)dxF(b)F(a),这个结论叫做_,为了便利,我们常把F(b)F(a)记成_,即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)4定积分在几何中的应用(1)当xa,b且f(x)0时,由直线xa,xb (ab),y0和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积S_.(2)当xa,b且f(x)g(x)0时,由直线xa,xb (ab)和曲线yf(x),yg(x)围成的平面图形的面积S_.(4)若f(x)是偶函数,则f
3、(x)dx2f(x)dx;若f(x)是奇函数,则f(x)dx0.5定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数vv(t)v(t)0在时间区间a,b上的定积分,即_(2)变力做功公式一物体在变力F(x)(单位:N)的作用下做直线运动,假如物体沿着与F相同的方向从xa移动到xb (ab)(单位:m),则力F所做的功W_.自我检测1计算定积分3xdx的值为 ()A.B75C.D252定积分xdx等于 ()A.B.1C.D.3如右图所示,阴影部分的面积是 ()A2B2C.D.4(2010湖南)dx等于 ()A2ln 2B2ln 2Cln 2Dln 2
4、5若由曲线yx2k2与直线y2kx及y轴所围成的平面图形的面积S9,则k_.探究点一求定积分的值例1计算下列定积分:(1);(2);(3)(2sin x3ex2)dx;(4)|x21|dx.变式迁移1计算下列定积分:(1)|sin x|dx;(2)sin2xdx.探究点二求曲线围成的面积例2计算由抛物线yx2和y3(x1)2所围成的平面图形的面积S.变式迁移2计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积探究点三定积分在物理中的应用例3一辆汽车的速度时间曲线如图所示,求此汽车在这1 min内所行驶的路程变式迁移3A、B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中C点,
5、这一段速度为1.2t m/s,到C点时速度达24 m/s,从C点到B点前的D点以匀速行驶,从D点开头刹车,经t s后,速度为(241.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:(1)A、C间的距离;(2)B、D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间函数思想的应用例(12分)在区间0,1上给定曲线yx2.试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值【答题模板】解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积,即S1tt2x2dxt3.2分S2的面积等于曲线yx2与x轴,xt,x1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1t,即S
6、2x2dxt2(1t)t3t2.4分所以阴影部分面积SS1S2t3t2(0t1)6分令S(t)4t22t4t0时,得t0或t.8分t0时,S;t时,S;t1时,S.10分所以当t时,S最小,且最小值为.12分【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题,也不是直接求函数的最小值问题,而是先利用定积分求出面积的和,然后利用导数的学问求面积和的最小值,难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中,突出考查同学学问的迁移力气和导数的应用意识1定积分f(x)dx的几何意义就是表示由直线xa,xb (ab),y0和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积;反过来,假如知道一个这样的曲边梯形的面
7、积也就知道了相应定积分的值,如dx (半径为2的个圆的面积),dx2.2运用定积分的性质可以化简定积分计算,也可以把一个函数的定积分化成几个简洁函数定积分的和或差3计算一些简洁的定积分问题,解题步骤是:第一步,把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差;其次步,把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;第三步,分别用求导公式找到一个相应的使F(x)f(x)的F(x);第四步,再分别用牛顿莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值 (满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1下列值等于1的积分是 ()AxdxB(x1)dxCdxD1dx2(20
8、11汕头模拟)设函数f(x)则f(x)dx等于 ()A.B.C6D173已知f(x)为偶函数且f(x)dx8,则f(x)dx等于 ()A0B4C8D164(2011深圳模拟)曲线ysin x,ycos x与直线x0,x所围成的平面区域的面积为 ()A0(sin xcos x)dxB20(sin xcos x)dxC0(cos xsin x)dxD20(cos xsin x)dx5(2011临渭区高三调研)函数f(x)t(t4)dt在1,5上 ()A有最大值0,无最小值B有最大值0,最小值C有最小值,无最大值D既无最大值也无最小值题号12345答案二、填空题(每小题4分,共12分)6若1 N的力
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