2021高考数学(福建-理)一轮学案68-离散型随机变量的均值与方差.docx
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学案68 离散型随机变量的均值与方差 导学目标: 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简洁离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 自主梳理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)=____________________________________为随机变量X的均值或___________,它反映了离散型随机变量取值的____________. (2)方差 称D(X)=__________________________为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的______________,其________________________为随机变量X的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=____________. (2)D(aX+b)=____________.(a,b为实数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X听从两点分布,则E(X)=____,D(X)=_____________________________. (2)若X~B(n,p),则E(X)=______,D(X)=____________. 自我检测 1.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于( ) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 2.(2011·菏泽调研)已知随机变量X听从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值为( ) A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 3.(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需要再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 4.(2011·浙江)某毕业生参与人才聘请会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的,记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=________. 5.(2011·杭州月考)随机变量ξ的分布列如下: ξ -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差数列.若E(ξ)=,则D(ξ)=________. 探究点一 离散型随机变量的期望与方差 例1 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、期望和方差; (2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值. 变式迁移1 编号1,2,3的三位同学任凭入座编号为1,2,3的三个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的同学的个数是X. (1)求随机变量X的分布列; (2)求随机变量X的数学期望和方差. 探究点二 二项分布的期望与方差 例2 (2011·黄山模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观看疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为. (1)求一个试验组为甲类组的概率; (2)观看3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望. 变式迁移2 某同学在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min. (1)求这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. 探究点三 离散型随机变量期望与方差的应用 例3 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-. (1)求一投保人在一年度内出险的概率p; (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元). 变式迁移3 因冰雪灾难,某柑桔基地果林严峻受损,为此有关专家提出两种挽救果树的方案,每种方案都需分两年实施.若实施方案一,估量第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;其次年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二,估量第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;其次年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与其次年相互独立,令ξi(i=1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数. (1)写出ξ1、ξ2的分布列; (2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? (3)不管哪种方案,假照实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,估量利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大? 1.若η=aξ+b,则E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ). 2.若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p). 3.求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量ξ的期望、方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的期望、方差和标准差,可直接用ξ的期望、方差的性质求解;(3)如能分析所给随机变量,是听从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、方差公式求解. (满分:75分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下,且E(ξ)=6.3,则a的值为( ) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 2.设ξ~B(n,p),若有E(ξ)=12,D(ξ)=4,则n、p的值分别为( ) A.18, B.16, C.20, D.15, 3.随机变量X的分布列为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X+4)等于( ) A.15 B.11 C.2.2 D.2.3 4.设掷1枚骰子的点数为ξ,则( ) A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.52 B.E(ξ)=3.5,D(ξ)= C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5 D.E(ξ)=3.5,D(ξ)= 5.(2011·成都调研)已知抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a、b、c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ为“|a-b|的取值”,则ξ的数学期望E(ξ)为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表: x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=____________. 7.(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又X的均值E(X)=3,则a+b=________. 8.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)=________. 三、解答题(共38分) 9.(12分)(2011·江西)某饮料公司聘请了一名员工,现对其进行一次测试,以便确定工资级别.公司预备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别力气. (1)求X的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 10.(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋竞赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘竞赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ). 11.(14分)现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是p(0<p<1).设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目投资十万元,ξ取0、1、2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E(ξ1)、E(ξ2); (2)当E(ξ1)<E(ξ2)时,求p的取值范围. 学案68 离散型随机变量的均值与方差 自主梳理 1.(1)x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 数学期望 平均水平 (2) (xi-E(X))2pi 平均偏离程度 算术平方根 2.(1)aE(X)+b (2)a2D(X) 3.(1)p p(1-p) (2)np np(1-p) 自我检测 1.C 2.B 3.B 4. 解析 由题意知P(X=0)=(1-p)2=,∴p=. 随机变量X的分布列为: X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=. 5. 课堂活动区 例1 解题导引 要求期望,需先求出分布列,要求分布列,需先求随机变量取每个值的概率,而求概率离不开常见大事概率的计算方法.第(2)小题留意性质E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ)的应用. 解 (1)ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5. D(ξ)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75. (2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2. 又E(η)=aE(ξ)+b, 所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4. ∴或 变式迁移1 解 (1)P(X=0)==; P(X=1)==;P(X=3)==. ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 3 P (2)E(X)=0×+1×+3×=1. D(X)=(1-0)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1. 例2 解题导引 (1)精确 理解大事“甲类组”的含义,把“甲类组”这一简洁大事用几个互斥的基本大事的和来表示; (2)第(2)小题首先推断随机变量ξ听从二项分布,再求其分布列和均值. 解 (1)设Ai表示大事“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2, Bi表示大事“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2. 依题意有 P(A1)=2××=,P(A2)=×=. P(B0)=×=,P(B1)=2××=. 所求的概率为 P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2) =×+×+×=. (2)ξ的可能值为0,1,2,3,且ξ~B. P(ξ=0)=3=, P(ξ=1)=C××2=, P(ξ=2)=C×2×=, P(ξ=3)=3=. ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 变式迁移2 解 (1)设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为大事A.由于大事A等价于大事“这名同学在第一和其次个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以大事A的概率为 P(A)=××=. (2)由题意可得,ξ的可能取值为0,2,4,6,8(单位:min).大事“ξ=2k”等价于大事“该同学在上学路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4),所以P(ξ=2k)=Ck4-k (k=0,1,2,3,4). 即ξ的分布列是 ξ 0 2 4 6 8 P 所以ξ的期望是 E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×=. 例3 解题导引 各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,投保人中出险人数ξ~B(104,p),进而利用二项分布的有关性质求解. 解 各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10 000人中出险的人数为ξ,则ξ~B(104,p). (1)记A表示大事:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则发生当且仅当ξ=0, P(A)=1-P()=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104, 又P(A)=1-0.999104,故p=0.001. (2)该险种总收入为10 000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.支出10 000ξ+50 000. 盈利η=10 000a-(10 000ξ+50 000), 盈利的期望为E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000, 由ξ~B(104,10-3)知,E(ξ)=10 000×10-3, E(η)=104a-104E(ξ)-5×104 =104a-104×104×10-3-5×104. E(η)≥0⇔104a-104×10-5×104≥0 ⇔a-10-5≥0⇔a≥15(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为15元. 变式迁移3 解 (1)ξ1的全部取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25, ξ2的全部取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44. ξ1、ξ2的分布列分别为: ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 ξ2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 (2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一大事, P(A)=0.15+0.15=0.3, P(B)=0.24+0.08=0.32. 可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大. (3)令η表示方案i的估量利润,则 η1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 η2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以E(η1)=14.75,E(η2)=14.1, 可见,方案一的估量利润更大. 课后练习区 1.C [由分布列性质知:0.5+0.1+b=1, ∴b=0.4. ∴E(ξ)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3. ∴a=7.] 2.A [E(ξ)=np=12,D(ξ)=np(1-p)=4. ∴1-p==,∴p=,∴n=18.] 3.A [∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2, ∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.] 4.B [E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5, D(ξ)=[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2]=.] 5.A [对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC=126条,ξ的可取值有0、1、2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==, E(ξ)=0×+1×+2×=.] 6.2 解析 设“?”处的数值为x,则“!”处的数值为1-2x,则 E(ξ)=1·x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. 7. 解析 离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=ak+b (k=1,2,3,4),所以 (a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1, 又X的均值E(X)=3,则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3,∴a=,b=0, ∴a+b=. 8. 解析 由题意知X~B,∴E(X)=2×=. 9.解 (1)X的全部可能取值为0,1,2,3,4.(2分) P(X=i)=(i=0,1,2,3,4).(4分) 即 X 0 1 2 3 4 P (6分) (2)令Y表示此员工的月工资,则Y的全部可能取值为2 100,2 800,3 500.(8分) 则P(Y=3 500)=P(X=4)=, P(Y=2 800)=P(X=3)=, P(Y=2 100)=P(X≤2)=. E(Y)=3 500×+2 800×+2 100×=2 280.(10分) 所以此员工月工资的期望为2 280元.(12分) 10.解 (1)设甲胜A的大事为D,乙胜B的大事为E,丙胜C的大事为F,则,,分别表示甲不胜A,乙不胜B,丙不胜C的大事. 由于P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立大事的概率公式知P()=0.4,P()=0.5, P()=0.5.(2分) 红队至少两人获胜的大事有:DE,DF,EF,DEF. 由于以上四个大事两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立,(4分) 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.(6分) (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.(8分) 又由(1)知F,E,D是两两互斥大事,且各盘竞赛的结果相互独立,(9分) 因此P(ξ=0)=P( )=0.4×0.5×0.5=0.1, P(ξ=1)=P( F)+P(E)+P(D ) =0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 =0.35, P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. 由对立大事的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4.(11分) 所以ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.(12分) 11.解 (1)ξ1的概率分布为 ξ1 1.2 1.18 1.17 P E(ξ1)=1.2×+1.18×+1.17×=1.18. (3分) 由题设得ξ~B(2,p),即ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 (5分) 故ξ2的概率分布为 ξ2 1.3 1.25 0.2 P (1-p)2 2p(1-p) p2 所以ξ2的数学期望是E(ξ2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3.(8分) (2)由E(ξ1)<E(ξ2),得-p2-0.1p+1.3>1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0, 解得-0.4<p<0.3.由于0<p<1,所以, 当E(ξ1)<E(ξ2)时,p的取值范围是0<p<0.3.(14分)- 配套讲稿:
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