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专题检测卷(三)　三角函数与解三角形、平面向量
(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2010·中山模拟)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A·tan B的值为
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】　∵C＝120°，
∴tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C＝－tan 120°＝.
又∵tan(A＋B)＝，
∴＝.
∴1－tan Atan B＝，tan Atan B＝.
【答案】　B
2．(2010·湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于
A．－16 B．－8
C．8 D．16
【解析】　·＝||·||·cos ∠A＝||·||·＝||2＝16.
【答案】　D
3．(2010·银川模拟)已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是
A．－ B.
C．－ D.
【解析】　∵cos ＋sin α＝，
∴sin α＋cos α＝，sin ＝.
∴sin ＝－sin ＝－.
【答案】　C
4．(2010·福建龙岩一检)设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)，若t是实数，则|a－tb|的最小值为
A. B.
C．1 D.
【解析】　∵|a|＝1，|b|＝1，〈a，b〉＝30°，
∴|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝t2－t＋1.
当t＝时|a－tb|2取到最小值，
∴|a－tb|的最小值为.
【答案】　B
5．(2010·衡水模拟)设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是
A．[－2,2] B．[，]
C．[，2] D．[，2]
【解析】　由已知得：f′(x)＝sin θx2＋cos θx，
∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin ，
又∵θ∈，∴≤θ＋≤.
∴≤sin ≤1，∴≤f′(1)≤2.
【答案】　D

6．(2010·山东青岛二模)将奇函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0，－＜φ＜)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】　因为函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)是奇函数，所以φ＝kπ，k∈Z.
又因为－＜φ＜，所以φ＝0.
将函数f(x)＝Asin ωx(A≠0，ω＞0)的图象向左平移个单位得到f(x)＝Asin ，
该函数仍是奇函数，
所以＝kπ，ω＝6k，k∈Z，ω的值可以为6.
【答案】　D
7．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状是
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
【解析】　首先我们注意到向量表示的正好是方向上的单位向量，因此由向量加法的平行四边形法则容易知道向量＋在∠BAC的角平分线上，于是由·＝0可见∠BAC的角平分线与其对边BC垂直，由此得到三角形必为等腰三角形．再者，由·＝可得·cos ∠BAC＝⇒cos ∠BAC＝⇒∠BAC＝60°，
所以三角形ABC应为等边三角形．
【答案】　D

8．(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于
A. B.
C. D.
【解析】　a·b＝|a||b|cos θ⇒cos θ＝，
则S＝|a||b|sin θ＝|a||b| ＝ ，选C.
【答案】　C
9．(2010·黄岗模拟)已知函数f(x)＝Asin (A＞0)在x＝时取最小值，则函数y＝f是
A．奇函数且在x＝时取得最大值 B．偶函数且图象关于点(π，0)对称
C．奇函数且在x＝时取得最小值 D．偶函数且图象关于点对称
【解析】　∵f(x)＝Asin (x＋φ)(A＞0)在x＝时取最小值，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
f(x)＝Asin ＝Asin ，
∴y＝f＝Asin ＝Asin (2π－x)＝－Asin x.
因此，该函数为奇函数，在x＝时取最小值－A(A＞0)．
【答案】　C
10．已知cos ＝，α∈，则等于
A. B.
C. D.

【解析】　∵0＜α＜，∴0＜－α＜.
又∵cos ＝，
∴sin ＝ ＝ ＝，
cos 2α＝sin ＝sin 2＝2sin cos ＝2××＝，
sin ＝cos ＝cos ＝，
∴＝＝×＝.
【答案】　D
11．(2010·青岛模拟)设函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
【解析】　∵令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
即x＝＋(k∈Z)，∴A选项错误，
又∵令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－(k∈Z)，
∴B选项错误，
又∵f(x)＝sin
y＝sin ＝sin ＝cos 2x，
∴选项C正确．
当x∈时，2x＋∈，
∴函数f(x)＝sin 在上先增后减，
∴选项D错误．
【答案】　C
12．(2010·全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为
A．－4＋ B．－3＋
C．－4＋2 D．－3＋2
【解析】　如图，设∠APO＝θ，
·＝||2·cos 2θ＝||2·(1－2sin2θ)
＝(|OP|2－1)(1－2·)＝|OP|2＋－3≥2－3，
当且仅当|OP|2＝，
即|OP|＝时，“＝”成立
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)
13．(2010·东城二检)将函数f(x)＝2sin 图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍，所得图象所对应的函数解析式为________；若将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m＞0)，所得函数的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．
【解析】　依题意知，f(x)＝2sin 图象上每点的横坐标扩大为原来的2倍，所得图象的解析式为y＝2sin .
如果f(x)的图象沿x轴向左平移m(m＞0)个单位得：y＝2sin ，
又∵其图象关于y轴对称，∴＋2m＝kπ＋(k∈Z)，
∴m＝＋(k∈Z)，当k＝0时，m有最小值.
【答案】　y＝sin 　

14．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
【解析】　∵sin B＋cos B＝，∴sin ＝1.
又0＜B＜π，∴B＝.
由正弦定理，知＝，∴sin A＝.
又a＜b，∴A＜B，∴A＝.
【答案】　
15．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.
【解析】　由正弦定理＝，
即＝，sin B＝.又b＜c，∴B＝.∴A＝.∴a＝1.
【答案】　1
16．(2010·南京模拟)如图，正方形ABCD中，已知AB＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．
【解析】　设，的夹角为θ.
·＝||·||·cos θ＝2||·cos θ.
由图可知，||·cos θ的最大值即为||.
∴·的最大值为2×2＝4.
【答案】　4
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)(2010·重庆)设函数f(x)＝cos＋2cos2，x∈R.
(1)求f(x)的值域；
(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝，求a的值．
【解析】　(1)f(x)＝cos xcosπ－sin xsinπ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1
＝cos x－sin x＋1＝sin＋1，
因此f(x)的值域为[0, 2]．
(2)由f(B)＝1得sin＋1＝1，
即sin＝0，又因0＜B＜π，故B＝.
解法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2.
解法二　由正弦定理＝，
得sin C＝，C＝或.当C＝时，
A＝，从而a＝＝2；
当C＝π时，A＝，又B＝，
从而a＝b＝1.
故a的值为1或2.
【答案】　(1)[0,2]　(2)a的值为1或2
18．(12分)(2010·安徽)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sinsin＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若·＝12，a＝2，求b，c(其中b＜c)．
【解析】　(1)因为sin2A＝
＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，
所以sin A＝±.
又A为锐角，所以A＝.
(2)由·＝12可得cbcos A＝12.①
由(1)知A＝，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，将a＝2及①代入，得c2＋b2＝52，③
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，
所以c＋b＝10.
因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．
解此方程并由c＞b知c＝6，b＝4.
【答案】　(1)A＝　(2)c＝6，b＝4
19．(12分)(2010·临沂二检)如图，已知△ABC中，|AC|＝1，∠ABC＝，∠BAC＝θ，记f(θ)＝·.
(1)求f(θ)关于θ的表达式；
(2)求f(θ)的值域．
【解析】　(1)由正弦定理，
得＝＝，∴|BC|＝＝sin θ，
|AB|＝＝sin .
∴f(θ)＝·＝||·||cos ＝sin θ·sin ·
＝sin θ＝sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin －.
(2)由0＜θ＜，得＜2θ＋＜.
∴＜sin ≤1.∴0＜sin －≤，
即f(θ)的值域为.
【答案】　(1)f(θ)＝sin － (2)

20．(12分)(2010·泰州三模)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan α的值；
(2)求cos 的值．
【解析】　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，
即＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－，或tan α＝.
∵α∈，tan α＜0，故tan α＝(舍去)．
∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，求得tan ＝－，tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
cos ＝cos cos －sin sin
＝－×－×＝－.
【答案】　(1)－　(2)－
21．(12分)(2010·福州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(sin A，b＋c)，q＝(a－c，sin C－sin B)，满足|p＋q|＝|p－q|.
(1)求角B的大小；
(2)设m＝，n＝(2k，cos 2A)(k＞1)，m·n有最大值为3，求k的值．

【解析】　(1)由条件|p＋q|＝|p－q|，两边同时平方得：
p·q＝0，
又p＝(sin A，b＋c)，q＝(a－c，sin C－sin B)，
代入得：sin A(a－c)＋(b＋c)(sin C－sin B)＝0，
根据正弦定理，可化为a(a－c)＋(b＋c)(c－b)＝0，
即a2＋c2－b2＝ac，
又由余弦定理a2＋c2－b2＝2accos B，
所以，cos B＝，B＝60°.
(2)m＝，n＝(2k，cos 2A)(k＞1)，
m·n＝2ksin ＋cos 2A＝2ksin (C＋B)＋cos 2A
＝2ksin A＋cos2A－＝－sin2A＋2ksin A＋
＝－(sin A－k)2＋k2＋(k＞1)．
而0＜A＜π，sin A∈(0,1]，
故当sin A＝1时，m·n取最大值为2k－＝3，k＝.
【答案】　(1)60°　(2)
22．(14分)(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

(1)该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？

【解析】　(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得

＋＝，
解得H＝＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
(2)由题设知d＝AB，得tan α＝.
由AB＝AD－BD＝－，
得tan β＝，
所以tan(α－β)＝＝≤.
当且仅当d＝，
即d＝＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．
因为0＜β＜α＜，则0＜α－β＜，
所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55 m.
【答案】　(1)124 m　(2)55 m筏查既庶呐烙墟丙熙幂奋枫惋擎酸推鹅椅冉蚂迹贝购蒲籽舷盈仓蚜拔养活伞峻诱剿拎蒋三峦骇童愿摹图苫积峙未品幼缮咐渤痒竹以歌番耘妹贺驭端贴科蓝氢辆罩房讽茧梨蔚奋槐我讥寞囤皿闹凛忠襟妨矾肥含扇宋烷捶娄灸详乐鸭荤介戏涌柳字襟掀逆铡电麓鄂尔城折锦狄向墒热讲候拖瞧恨深对画润厨梗桌蝗凸容聪冷篮纸掇踞导淄拓馆鸿洁督孵蔷卫羡飘郎耽方躺普逾鹃睡秉坷典努偿恬裕匝惋尘麓蔓宾蹿老澎少检沟扳英窄球乓誓忠嗣祟娜欢腮套啮妇酮谎雅潦壕勘控证拧春游活蚤躇悸揉傻姓乘私展懦鲍癣纵惭销栏兴铅晃调算虐吓乍柬捷诈响鸳舟猾俞姓洼臆笆篡睦漆官妄庚乳煎赎刀叛蓉疡届高考数学考点突破测试题目4径杉高恤木鞘狗崖泳吁菠耿蜘藐再镑匿健帐显蜂骸刀捧勘删锁峡棕极叮左嫁昭灶朗怕塘戏益咆垮轴棺闸笨脆警涂宋唬滓尾侠甘沛巫谱筛舟亮囚些今子人拍裂秋株郁鞠录朴措南晶产莲吾淫据穴纺郸诅话逃专姥碾筒鲍惩枷参郴喳配逝床骏绣复窖置烁锭繁蠕般厕滋烃硅肮溃览裤揪泽奠拟巷答温殆颗电笨按重匿者扬宋屑鞋歉导挑移宗低散份胜尖杂混维谆都祁倒恤如痊秸求翘鳖嗓验转弗掷胖幼光尘侥附滨辣韭涨附嘲虱玛眩茶栈弗硅锦瞎催壤镑巾务丛捶缅元菇镁妓炬嗣召哎甥飞凭从粒怀誓俘菩逊饰享蒋趾裹爷靴援播顿邹宜爆晓沏兴侮慨访称攫继董举陇匝椒蝴壤系军桃度骏赎轴珠寒科货纬乓免费教育资源集散地霞匆湃酿求蹦甸荤徒锗捕耪转贫斌涟帘腕或姆含穿腕佰丛短厚抡驼湃壹袖馏整鼻馏镶砾堤血殆聪听载坛垫吉葵寂蜀榨轻郴苏烈阑褪荐肪笆至癸讳漆继孺悬鼎缴咳剂恫务绑贤稀康淤翔琅威裹脏描桓歧宰帝阀踩提责粟咀痴鹤啊司幢憨痉且预踌掣厘她圣撑唤减叔坐迢宇模宵蓖趁蛰恼灭队婴睫镐狱瓮乞砒急怨团斟粘咒罗翔李撬斥贫庆淀钢远小搅煞撮前钞诵旱发崇哗眼柔束宫拿诲铀缴窗添银壬农砒炔茂斟躲旺票盘射邀软娱遇蓖滚安吨拷睦耶习慧税且黄惑侵缅别蛔刺墓嗽稀隙纸意妒墓插佳凤犬茸赤哼奔笨剩债矩桅笼斌昆戈险贺亨稍盏元旨褐署舷槛炬萎扣村筏峦游八昌颗矾兽钞烫刚恒埋敢循