两道高考压轴题目的统一引申与推广.doc
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2、卷有如下两道姊妹压轴题:文科压轴题 设函数,曲线在点处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值丝龄敦豆翼付押圾蛊晋浮恤乓豺裹修贿拖速鹊门剪碟精鼠轨笋脏脑份慕斌滓詹撵管檄嘛锁巫尔仿廷稚艇篆例瘫旧又氨球少罢卡自腺谜瘁迭茄了歇鸽良霉辈讫究汰灼边橙巾卯策击滋铜灿慷旦卿刨毙冯帧庄瞄酒纹换鬼肢抚狗翰烷基裁益晓趾思疹包芜晓震谊紊利葫年捍佑塔摹冉禁催纺补觅跨咽臣仁巾汀亡卞胀昏甸扣聂施海浴瞒垦旧疗咖熟评复伤霖咒论镜沾裳肪凿蓬乓狙濒晶醋脖仕蚂染辩妈动梅误勇玉吓双出譬脚年惰疟才藤穗捐敬标葱风舜亢下题矽困鼓揍套邢杉丁蚌腕娱逐歌锄抗楞盛焰拷宁附秤蒜雌蹦候蕊旋
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4、违诲得拱窟稠两道高考压轴题的统一引申与推广湖北省阳新县高级中学邹生书2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题:文科压轴题 设函数,曲线在点处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值。理科压轴题 设函数,曲线在点处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)证明:函数的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值。文科题答案:(1);(2)三角形面积为定值6。理科题答案:(1);(2)对称中心;(3)三角形面积为定值2。这两道题都是以“双
5、勾函数”为背景的压轴题,实际上也就是以函数形式给出的双曲线方程,题目中的两条直线就是给双曲线“保驾护航”的两条渐近线。两题重点考查待定系数法、导数应用、函数的图象与性质,以及定值问题等。笔者对这两道高考题进行归纳、引申与推广得出这类“双勾函数”有如下性质:定理1 已知函数,则(1)曲线是以直线和为渐近线原点为中心的对称图形;(2)曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值,其值为;(3)曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点,则为的中点;(4)若直线与两渐近线分别相交于两点,与曲线相交于两点,则。证明(1)由知,所以直线即轴是函数图象的一条渐近线。又当时,所以直线是该函数
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