【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第9章-第6节-抛物线.docx
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第九章 第六节 一、选择题 1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [答案] D [解析] 把直线x=-1向左平移一个单位,两个距离就相等了,符合抛物线的定义. 2.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的焦点,则a=( ) A.1 B.4 C.8 D.16 [答案] C [解析] 依据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,),双曲线的焦点为(0,2),依题意则有=2,解得a=8. 3.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( ) A.x2=4y B.x2=-4y C.y2=-12x D.x2=±12y [答案] D [解析] 由题意得c==3,∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3). ∴该抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y. 4.(文)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 [答案] C [解析] 本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等. 设抛物线为y2=2px,则焦点F,准线x=-,由|AB|=2p=12,知p=6,所以F到准线距离为6,所以三角形面积为S=×12×6=36. (理)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A.y2=±4x B.y2=±8x C.y2=4x D.y2=8x [答案] B [解析] 本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系. 由已知得抛物线焦点为F, ∴AF所在直线方程为y=2.∴A, ∴S△OAF=×·==4, ∴a2=64,∴a=±8,∴抛物线的方程为y2=±8x. 5.(2022·辽宁高考)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( ) A.- B.-1 C.- D.- [答案] C [解析] 考查了直线与抛物线的有关学问. 把A(-2,3)代入y2=2px的准线方程,得p=4. ∴F为(2,0) ∴kAF==-.正确求出焦点F是关键. 6.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA⊥OB,则y1y2等于( ) A.-4p2 B.-3p2 C.-2p2 D.-p2 [答案] A [解析] ∵OA⊥OB,∴·=0.① ∴x1x2+y1y2=0. ∵A、B都在抛物线上,∴∴ 代入①得·+y1y2=0,解得y1y2=-4p2. 二、填空题 7.(文)(2021·北京高考)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=________,准线方程为________. [答案] 2 x=-1 [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由=1知p=2,则准线方程为x=-=-1. (理)设抛物线的顶点在原点,焦点F在y轴上,且抛物线上的点P(k,-2)到点F的距离为4,则k的值为________. [答案] 4或-4 [解析] 由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则+2=4,p=4,k2=-2×4(-2),∴k=4或-4. 8.下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水位下降1m后,水面宽________m. [答案] 2 [解析] 本题考查了抛物线的标准方程与数学建模力气.如图建立直角坐标系. 设抛物线方程为x2=-2py,代入P(2,-2)得2p=2, ∴x2=-2y,当y=-3时,x2=6,∴x=±,则此时水面宽为2m. 9.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________ [答案] y2=4x [解析] 设抛物线的方程为y2=ax(a≠0),由方程组得交点A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)是AB的中点,从而有a=4,故所求抛物线的方程为y2=4x. 三、解答题 10.(2022·江西高考)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作始终线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点). (1)证明:动点D在定直线上; (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. [解析] (1)∵直线AB过定点M(0,2)由分析知直线AB斜率确定存在. ∴可设直线AB的方程为y=kx+2, 由,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-8. 又直线AO的方程为y=x,BD的方程为x=x2. 解得交点D的坐标为⇒ 又∵x1x2=-8,x=4y1. ∴y====-2. ∴点D在定直线y=-2(x≠0)上 (2)由题意分析可知,切线l的斜率存在且不为0, 设切线l的方程为y=ax+b(a≠0)代入x2=4y并化简得x2-4ax-4b=0. ∵l为切线,∴△=(4a)2+16b=0,化简得b=-a2. ∴切线方程为y=ax-a2. 分别令y=2,y=-2得N1、N2点的坐标为N1(+a,2),N2(-+a,-2), 则|MN2|2-|MN1|2=(-a)2+42-(+a)2=8 ∴|MN2|2-|MN1|2为定值8. 一、选择题 1.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.假如直线AF的斜率为-,那么|PF|=( ) A.4 B.8 C.8 D.16 [答案] B [解析] 如图,kAF=-,∴∠AFO=60°, ∵|BF|=4,∴|AB|=4,即P点的纵坐标为4, ∴(4)2=8x,∴x=6,∴|PA|=8=|PF|,故选B. 2.(文)已知点M是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,F为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与y轴的关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情形都有可能 [答案] B [解析] 如图,由MF的中点A作准线l的垂线AE,交直线l于点E,交y轴于点B;由点M作准线l的垂线MD,垂足为D,交y轴于点C, 则MD=MF,ON=OF, ∴AB====,∴这个圆与y轴相切. (理)(2022·台州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,F关于原点的对称点为P,过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点,有下列四个命题: ①△PMN必为直角三角形;②△PMN不愿定为直角三角形;③直线PM必与抛物线相切;④直线PM不愿定与抛物线相切.其中正确的命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ [答案] A [解析] 由于|PF|=|MF|=|NF|,故∠FPM=∠FMP,∠FPN=∠FNP,从而可知∠MPN=90°,故①正确,②错误;令直线PM的方程为y=x+,代入抛物线方程可得y2-2py+p2=0,Δ=0,所以直线PM与抛物线相切,故③正确,④错误. 二、填空题 3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足NF=MN,则∠NMF=________. [答案] [解析] 过N作准线的垂线,垂足是P,则有PN=NF, ∴PN=MN,∠NMF=∠MNP. 又cos∠MNP=, ∴∠MNP=,即∠NMF=. 4.设P是抛物线y=x2上的点,若P点到直线2x-y-4=0的距离最小,则P点的坐标为________. [答案] (1,1) [解析] 解法1:设P点坐标为(x0,x),由点到直线的距离公式得d==|x-2x0+4| =|(x0-1)2+3|≥. 由上式可知当x0=1时,dmin=. ∴点P的坐标为(1,1). 解法2:如图,平移2x-y-4=0这条直线至过点P与抛物线相切,则P点到直线的距离最短. 设P(x0,y0),∵y′=2x. ∴过P点的切线斜率k=y′|x=x0=2x0=2. ∴x0=1,y0=x=1,故P点坐标为(1,1). 三、解答题 5.已知直线AB与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,OD⊥AB于点D,点D的坐标为(2,1),求抛物线的方程. [解析] 由题意得kOD=, ∵AB⊥OD,∴kAB=-2,又直线AB过点D(2,1), ∴直线AB的方程为y=-2x+5, 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵以AB为直径的圆过点O, ∴·=0, 即x1x2+y1y2=0, 由得4x2-(2p+20)x+25=0, ∴x1+x2=,x1x2=, ∴y1y2=(-2x1+5)(-2x2+5) =4x1x2-10(x1+x2)+25=25-5p-50+25=-5p, ∴+(-5p)=0,∴p=, ∴抛物线方程为y2=x. 6.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率. [分析] (1)设出抛物线方程,利用待定系数法求解. (2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率. [解析] (1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>0). ∵点P(1,2)在抛物线上, ∴22=2p×1,解得p=2. 故所求抛物线的方程是y2=4x, 准线方程是x=-1. (2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB, 则kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1), ∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补, ∴kPA=-kPB. 由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y=4x1 ① y=4x2 ② ∴=-, ∴y1+2=-(y2+2). ∴y1+y2=-4. 由①-②得直线AB的斜率 kAB===-1(x1≠x2). [点评] (1)求抛物线的标准方程常接受待定系数法.利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值. (2)对于和抛物线有两个交点的直线问题,“点差法”是常用方法.如若A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px上两点,则直线AB的斜率kAB与y1+y2可得如下等式: 由y=2px1 ① y=2px2 ② ②-①得y-y=2p(x2-x1), ∴=(x1≠x2),∴kAB=.- 配套讲稿:
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