【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)阶段性测试题1(集合与常用逻辑用语).docx

阶段性测试题一(集合与常用规律用语)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·山东莱芜期中)已知全集为R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁RA＝(　　)
A．{x|x<－1，或x>2}　 B．{x|x<－1，或x≥2}
C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}
[答案]　C
[解析]　由x2－x－2≥0得，x≤－1或x≥2，∴A＝{x|x≤－1或x≥2}，
∴∁RA＝{x|－1<x<2}．
2．(2021·甘肃会宁二中模拟)设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N B．MN
C．MN D．M∩N＝∅
[答案]　B
[解析]　解法1：M＝{x|x＝，k∈Z}＝{…－2，－，－1，－，0，，1，，…}，N＝{x|x＝，k∈Z}＝{…，－，－，－，0，，，，1，…}，∴MN.
解法2：M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵k∈Z，∴k＋2能取遍全部整数，2(k＋1)只能取遍全部偶数，∴MN.
3．(2021·河南开封22校联考)已知集合A＝{x|2x>}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝(　　)
A．(－1,2) B．(1,2)
C．(0,2) D．(－1,1)
[答案]　C
[解析]　由2x>得x>－1，∴A＝{x|x>－1}；由log2x<1得0<x<2，∴B＝{x|0<x<2}，
∴A∩B＝{x|0<x<2}，选C.
4．(2021·娄底市名校联考)“p且q是真命题”是“非p为假命题”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　∵“p∧q”是真命题，∴p与q都是真命题，∴¬p为假命题；由¬p为假命题可知p为真命题，但q的真假性不知道，∴p∧q的真假无法推断，故选A.
5．(文)(2022·枣庄市期中)已知命题p：偶函数的图象关于y轴对称，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)
[答案]　D
[解析]　∵p为真命题，q为假命题，∴p∧(¬q)为真命题，故选D.
(理)(2021·福建清流一中期中)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)
[答案]　D
[解析]　由指数函数的性质知p为真命题，1.5>1，但1.5>2不成立，∴q为假命题，∴p∧(¬q)为真命题．
6．(文)(2021·福建宁化一中段测)下列说法不正确的是(　　)
A．“cosα＝”是“cos2α＝－”的充分不必要条件
B．命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则¬p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0
C．命题“在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆否命题是真命题
D．若p∧q为真命题，则p∨q为假命题
[答案]　D
[解析]　cosα＝时，cos2α＝2cos2α－1＝2×()2－1＝－，但cosα＝－时也有cos2α＝－，∴A为真命题；由存在性命题的否定为全称命题，“<”的否定为“≥”，知B为真命题；在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，故C为真命题；当p∧q为假命题时，p假或q假，因此p、q中可能一真一假，从而p∨q可能为真，故D不正确．
(理)(2021·湖北省教学合作联考)下列命题中真命题的个数是(　　)
(1)若命题p，q中有一个是假命题，则¬(p∧q)是真命题．
(2)在△ABC中，“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“C＝90°”的必要不充分条件．
(3)若C表示复数集，则有∀x∈C，x2＋1≥1.
A．0　　 B．1　　　　
C．2　　 D．3
[答案]　C
[解析]　(1)∵p、q中有一个假命题，∴p∧q为假命题，∴¬(p∧q)为真命题，∴(1)正确；(2)若C＝90°，则cosA＝cos(90°－B)＝sinB，cosB＝cos(90°－A)＝sinA，∴cosA＋sinA＝cosB＋sinB，但cosA＋sinA＝cosB＋sinB时，sin(A＋45°)＝sin(B＋45°)，∴满足A＝B，或A＋B＝90°，得不出C＝90°，故(2)正确；(3)当x＝i时，有x2＋1＝0，故(3)错误，选C.
7．(2021·山东滕州一中单元检测)设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|x>0} B．{x|－3<x<－1}
C．{x|－3<x<0} D．{x|x<－1}
[答案]　B
[解析]　由－x2－3x>0得－3<x<0，阴影部分表示A∩B＝{x|－3<x<－1}，故选B.
8．(文)(2021·山西高校附中月考)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　x＝1时，y＝2i为纯虚数，z为纯虚数时，x＝1，故选C.
(理)(2021·濉溪县月考)已知向量a，b都是非零向量，则“＝－”是“a＋b＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　∵a，b都是非零向量，a＋b＝0，∴a与b的方向相反，从而＝－；但＝－时，明显a与b方向相反，但|a|与|b|不愿定相等，从而a＋b＝0不愿定成立．
9．(2021·宝安中学、南海中学、普宁一中等七校联考)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　)
A．1　　 B．3　　 　　
C．4　　 D．6
[答案]　C
[解析]　由x2－3x＋2＝0得x＝1或2，∴A＝{1,2}，∵A∪B＝{0,1,2}，∴确定有0∈B，由元素1、2与B的关系知满足条件的集合B有22＝4个．
10．(文)(2022·韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是(　　)
A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件
B．命题“∃x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”
C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件
D．命题p：“∀x∈R，sinx＋cosx≤”，则¬p是真命题
[答案]　A
[解析]　a>1时，f(x)＝logax为增函数，f(x)＝logax(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A正确；“<”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误；∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≤恒成立，∴p为真命题，从而¬p为假命题，∴D错误．
(理)(2021·长春外国语学校期中)“a＝0”是“f(x)＝为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　a＝0时，f(x)＝为奇函数；f(x)为奇函数时，由于f(x)的定义域为{x|x≠±1}，∴f(0)＝0，∴a＝0，故选C.
11．(文)(2022·抚顺二中期中)下列说法正确的是(　　)
A．命题“∀x∈R，ex>0”的否定是“∃x∈R，ex>0”
B．命题“已知x、y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
[答案]　B
[解析]　A明显错误；若x＝2且y＝1，则x＋y＝3，∴B正确；如图，在x∈[1,2]时，y＝x2＋2x的图象总在y＝ax的图象的上方，但y＝x2＋2x(1≤x≤2)的最小值不大于y＝ax(1≤x≤2)的最大值，故C错；若f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝0或a＝－1，故原命题的逆命题为假命题，∴D错误．
(理)(2021·重庆南开中学月考)下列叙述正确的是(　　)
A．命题：∃x∈R，使x3＋sinx＋2<0的否定为：∀x∈R，均有x3＋sinx＋2<0.
B．命题：“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为：若x≠1或x≠－1，则x2≠1
C．己知n∈N，则幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1
D．函数y＝log2的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m＝±1
[答案]　C
[解析]　选项A中，命题：∃x∈R，使x3＋sinx＋2＜0的否定为：∀x∈R，均有x3＋sinx＋2≥0，故A错误；
选项B中，命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1，故B错误；
选项C中，由于幂函数y＝x3n－7在x∈(0，＋∞)上单调递减，
所以3n－7＜0，解得n＜，又n∈N，
所以，n＝0,1或2；又y＝x3n－7为偶函数，
所以，n＝1，即幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1，C正确；
选项D中，令y＝f(x)＝log2，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，
即log2＋log2＝log2＝0，＝1，
整理得：m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，
当m＝－3时，＝－1＜0，y＝log2无意义，
故m＝1.
所以，函数y＝log2图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m＝1，D错误．
12．(2021·潮阳一中、中山一中、仲元中学联考)对于集合A，假如定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：
(ⅰ)∀a，b∈A，都有a⊕b∈A；
(ⅱ)∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a；
(ⅲ)∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′＝a′⊕a＝e；
(ⅳ)∀a，b，c∈A，都有(a⊕b)⊕c＝a⊕(b⊕c)，
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A＝{整数}，运算“⊕”为一般加法；
②A＝{复数}，运算“⊕”为一般减法；
③A＝{正实数}，运算“⊕”为一般乘法．其中可以构成“对称集”的有(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[答案]　B
[解析]　①A＝{整数}，运算“⊕”为一般加法，依据加法运算可知满足4个条件，其中e＝0，a、a′互为相反数；
②A＝{复数}，运算“⊕”为一般减法，不满足4个条件，例如a＝3＋i，b＝2－i，c＝1，(a－b)－c＝2i，a－(b－c)＝2＋2i，不满足条件(ⅳ)．
③A＝{正实数}，运算“⊕”为一般乘法，依据乘法运算可知满足4个条件，其中e＝1，a、a′互为倒数．
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2021·庐江二中、巢湖四中联考)已知集合A＝{0,2,4}，则A的子集中含有元素2的子集共有________个．
[答案]　4
[解析]　含有元素2的子集有{2}，{2,0}，{2,4}，{2,0,4}，共4个．
14．(文)(2022·北京东城区联考)①命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”；
②函数f(x)＝2x－x2的零点有2个；
③若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝0；
④函数y＝sinx(x∈[－π，π])的图象与x轴围成的图形的面积是S＝sinxdx；
⑤若函数f(x)＝，在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为(1,8)．
其中真命题的序号是________(写出全部正确命题的编号)．
[答案]　①③
[解析]　①明显正确；②由于f(2)＝0，f(4)＝0，且f(－1)·f(0)<0，∴f(x)在(－1,0)上存在零点，故②错误；③∵f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，∴(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|恒成立，即|x－a|＝|x＋a|，∴(x－a)2＝(x＋a)2，∴ax＝0，此式对∀x∈R都成立，故a＝0，
∴③正确；④函数y＝sinx(－π≤x≤π)的图象与x轴围成图形的面积S>0，而定积分－πsinxdx＝0，故④错误；⑤∵f(x)＝是R上的增函数，
∴
∴7≤a<8.
(理)(2022·合肥八中联考)给出下列四个命题：
①∃α，β∈R，α>β，使得tanα<tanβ；
②若f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(，)，则f(sinθ)>f(cosθ)；
③在△ABC中，“A>”是“sinA>”的充要条件；
④若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f ′(1)＝3，其中全部正确命题的序号是________．
[答案]　①④
[解析]　①当α＝，β＝时，tanα<0<tanβ，∴①为真命题；
∵f(x)是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，
∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(，)，∴1>sinθ>cosθ>，从而f(sinθ)<f(cosθ)，∴②为假命题；
③当A＝时，A>成立，但sinA＝，∴③为假命题；
④由条件知f ′(1)＝，f(1)＝×1＋2＝，
∴f(1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．
15．(2021·呼和浩特市期中)已知函数f(x)＝a2x－2a＋1，若命题“∀x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(，1)∪(1，＋∞)
[解析]　∵命题“∀x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，
∴命题的否定：“存在实数x∈(0,1)，使f(x)＝0”是真命题，
∴f(1)f(0)<0，
即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，
∴(a－1)2(2a－1)>0，
解得a>，且a≠1.
∴实数a的取值范围是(，1)∪(1，＋∞)．
16．(文)(2021·辽宁五校协作体期中)设f(x)是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2022成立，若函数g(x)＝f(x)＋2022x2021有最大值M和最小值m，则M＋m＝________.
[答案]　－4028
[分析]　函数g(x)用f(x)来定义，要争辩g(x)需先考虑f(x)，由条件式令y＝－x可得到f(x)与f(－x)的关系式，故可转化为对函数奇偶性的争辩，照看到2022x2021为奇函数，可考虑构造一个奇函数，其最大值M、最小值m，则这个奇函数加一个常数t后，所得新函数的最大值为M＋t，最小值为m＋t，由于M＋m＝0，所以新函数的最大值与最小值的和为2t.
[解析]　令x＝y＝0得f(0)＝－2022，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2022，∴f(－x)＋2022＝－(f(x)＋2022)．令h(x)＝f(x)＋2022＋2022x2021，则h(－x)＝f(－x)＋2022＋2022(－x)2021＝－(f(x)＋2022＋2022x2021)＝－h(x)，∴h(x)为奇函数，
∵g(x)的最大值为M，最小值为m，h(x)＝g(x)＋2022，
∴h(x)的最大值为M＋2022，最小值为m＋2022，
∵h(x)为奇函数，∴(M＋2022)＋(m＋2022)＝0，
∴M＋m＝－4028.
(理)(2021·安徽省示范高中联考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对任意P1(x1，y1)∈M，均不存在P2(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M为“好集合”，给出下列五个集合：
①M＝{(x，y)|y＝}；
②M＝{(x，y)|y＝lnx}；
③M＝{(x，y)|y＝x2＋1}；
④M＝{(x，y)|(x－2)2＋y2＝1}；
⑤M＝{(x，y)|x2－2y2＝1}．
其中全部“好集合”的序号是________．(写出全部正确答案的序号)
[答案]　①④⑤
[解析]　x1x2＋y1y2＝0⇒·＝0⇒⊥(O为坐标原点)，即OP1⊥OP2.
若集合M里存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M不是“好集合”，否则是．
①曲线y＝上任意两点与原点连线夹角小于90°(同一支上)或大于90°(两支上)，集合M里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M是“好集合”；
②如图，函数y＝lnx的图象上存在两点A，B，使得OA⊥OB.所以M不是“好集合”；

③过原点的切线方程为y＝±x，两条切线的夹角大于90°，集合M里存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M不是“好集合”；
④切线方程为y＝±x，夹角为60°，集合M里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M是“好集合”；
⑤双曲线x2－2y2＝1的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线的夹角小于90°，集合M里不存在两个元素P1，P2，使得OP1⊥OP2，则集合M是“好集合”．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(文)(2021·山西高校附中月考)已知集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|<0}．
(1)在区间(－4,4)上任取一个实数x，求“x∈(A∩B)”的概率；
(2)设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“(b－a)∈(A∪B)”的概率．
[解析]　(1)由已知B＝{x|－2<x<3}，A∩B＝{x|－2<x<1}，
设大事“x∈(A∩B)”的概率为P1，这是一个几何概型，则P1＝.
(2)由于a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以，基本大事共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．
设大事E为“(b－a)∈(A∪B)”，则大事E中包含9个基本大事，
大事E的概率P(E)＝＝.
(理)(2021·重庆南开中学月考)已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，集合B＝{x|2x2－9x＋k≤0}．
(1)求集合A.
(2)若B⊆A，求实数k的取值范围．
[解析]　(1)∵x2－5x＋4≤0，∴1≤x≤4，∴A＝[1,4]．
(2)当B＝∅时，Δ＝81－8k＜0，求得k＞.
∴当B≠∅时，2x2－9x＋k＝0的两根均在[1,4]内，
设f(x)＝2x2－9x＋k，则
解得7≤k≤.
综上，k的取值范围为[7，＋∞)．
18．(本小题满分12分)(文)(2021·重庆南开中学月考)已知命题p：关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]有解；命题q：f(x)＝log2(x2－2mx＋)在x∈[1，＋∞)单调递增；若¬p为真命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围．
[解析]　设f(x)＝x2－mx－2，
∵关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]有解，f(0)＝－2<0，
∴f(1)≥0，解得m≤－1，
由命题q得x2－2mx＋＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，且函数y＝x2－2mx＋，在区间[1，＋∞)上单调递增，依据x2－2mx＋＞0，在区间[1，＋∞)上恒成立，得m＜，
由函数y＝x2－2mx＋＞0，在区间[1，＋∞)上单调递增，得m≤1，∴由命题q得：m＜，
∵¬p为真命题，p∨q是真命题，得到p假q真，
∴m∈(－1，)．
∴实数m的取值范围是(－1，)．
(理)(2022·山东省菏泽市期中)已知命题p：关于x的不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
[解析]　不等式|x－1|>m－1的解集为R，须m－1<0，即p是真命题时，m<1；
函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，须5－2m>1，即q是真命题时，m<2.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．
(1)当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；
(2)当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2，
因此1≤m<2.
19．(本小题满分12分)(文)(2021·浙江慈溪市、余姚市期中)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)当c∈R时，解关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0(用c表示)．
[解析]　(1)由已知得1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0，
∴∴
(2)由(1)得原不等式可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0，
所以当c>2时，所求不等式的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，所求不等式的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，所求不等式的解集为∅.
(理)(2021·沈阳市东北育才中学一模)已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
[解析]　(1)依题意得：(m－1)2＝1，∴m＝0或m＝2，
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设冲突，舍去，
∴m＝0.
(2)由(1)知f(x)＝x2，当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]，
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴∴0≤k≤1.
20．(本小题满分12分)(2021·东北育才中学一模)已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，设命题p：“f(x)的定义域为R”；命题q：“f(x)的值域为R”．
(1)分别求命题p、q为真时实数a的取值范围；
(2)¬p是q的什么条件？请说明理由．
[解析]　(1)命题p为真，即f(x)的定义域是R，等价于(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立，
等价于a＝－1或
解得a≤－1或a>，∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪(，＋∞)．
命题q为真，即f(x)的值域是R，等价于u＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1的值域⊇(0，＋∞)，等价于a＝1或
解得1≤a≤.∴实数a的取值范围为[1，]．
(2)由(1)知，¬p：a∈(－1，]；q：a∈[1，]．
而(－1，][1，]，
∴¬p是q的必要而不充分的条件．
21．(本小题满分12分)(2022·长沙市重点中学月考)若正数项数列{an}的前n项和为Sn，且满足＝＋1，其中首项a1＝1.
(1)求a2，a3及数列{an}的通项公式an；
(2)设bn＝，Tn表示数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N*，不等式λTn<n＋8×(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围．
[解析]　∵＝＋1，a1＝1，∴＝2，
∴a2＝3，同理a3＝5.
由题意可得－＝1，
∴数列{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×1，即Sn＝n2，
由公式an＝得an＝
∴an＝2n－1.
(2)∵bn＝＝＝(－)，
∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝.
①当n为偶数时，要使不等式λTn<n＋8×(－1)n恒成立，即需不等式λ<＝2n＋＋17恒成立．
∵2n＋≥8，等号在n＝2时取得．
∴此时λ满足λ<25.
②当n为奇数时，要使不等式λTn<n＋8×(－1)n恒成立，即需不等式λ<＝2n－－15恒成立．
∵2n－随n的增大而增大，∴n＝1时2n－取得最小值－6.此时λ需满足λ<－21.
∴综合①、②可得λ的取值范围是λ<－21.
22．(本小题满分14分)(文)(2021·湖北教学合作联考)已知集合U＝R，集合A＝{x|(x－2)(x－3)<0}，函数y＝lg的定义域为集合B.
(1)若a＝，求集合A∩(∁UB)；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)集合A＝{x|2<x<3}，由于a＝.
所以函数y＝lg＝lg，由>0，
可得集合B＝{x|<x<}．
∁UB＝{x|x≤或x≥}，
故A∩(∁UB)＝{x|≤x<3}．
(2)由于q是p的必要条件等价于p是q的充分条件，即A⊆B，
由A＝{x|2<x<3}，而集合B应满足>0，
由于a2＋2－a＝(a－)2＋>0，
故B＝{x|a<x<a2＋2}，
依题意就有：，
即a≤－1或1≤a≤2，
所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2].
(理)(2021·呼和浩特市期中)已知函数f(x)＝x3－ax2＋x＋2.
(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)设f(x)的导函数为f ′(x)，若∃α∈(，)，使f ′(sinα)＝f ′(cosα)成立，求a的取值范围．
[解析]　(1)f ′(x)＝2x2－ax＋1，
∵f(x)在R上单调递增，
∴f ′(x)≥0在R上恒成立，
∴Δ≤0，即a2－8≤0，
解得－2≤a≤2.
(2)由于f ′(x)＝2x2－ax＋1的图象关于直线x＝对称，
又α∈(，)时sinα>cosα，
∃α∈(，)，使f ′(sinα)＝f ′(cosα)成立，
所以＝，
即a＝2(sinα＋cosα)＝2sin(α＋)，
由于α∈(，)，则<α＋<，
则<sin(α＋)<1，
故有a∈(2,2)．