《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第九章-第4讲-随机事件的概率.docx
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1、第4讲随机大事的概率1概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观看某一大事A是否毁灭,称n次试验中大事A毁灭的次数nA为大事A毁灭的频数,称大事A毁灭的比例fn(A)为大事A毁灭的频率(2)对于给定的随机大事A,由于大事A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估量概率P(A)2大事的关系与运算定义符号表示包含关系假如大事A发生,则大事B确定发生,这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)BA(或AB)相等关系若BA且AB,那么称大事A与大事B相等AB并大事(和大事)若某大事发生当且仅当大事A发生或大事B发生,则称此大事为大事A与大事B的
2、并大事(或和大事)AB(或AB)交大事(积大事)若某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发生,则称此大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)AB(或AB)互斥大事若AB为不行能大事,那么称大事A与大事B互斥AB对立大事若AB为不行能大事,AB为必定大事,那么称大事A与大事B互为对立大事AB且AB3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0P(A)1(2)必定大事的概率:P(A)1(3)不行能大事的概率:P(A)0(4)概率的加法公式假如大事A与大事B互斥,则P(AB)P(A)P(B)(5)对立大事的概率若大事A与大事B互为对立大事,则AB为必定大事P(AB)1,P(A)1P(B)做一做1若A、
3、B为互斥大事,P(A)0.4,P(AB)0.7,则P(B)_答案:0.32在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为_答案:0.741辨明两个易误点(1)易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数(2)对立大事是互斥大事,是互斥中的特殊状况,但互斥大事不愿定是对立大事,“互斥”是“对立”的必要不充分条件2集合方法推断互斥大事与对立大事(1)由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则大事互斥(2)大事A的对立大事A所含的结果组成的集合,是全集中由大事A所含的结果组成的
4、集合的补集做一做3甲:A1,A2是互斥大事;乙:A1,A2是对立大事,那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件解析:选B.两个大事是对立大事,则它们确定互斥,反之不愿定成立4某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参与演讲竞赛,大事“至少有一名女生”与大事“全是男生”()A是互斥大事,不是对立大事B是对立大事,不是互斥大事C既是互斥大事,也是对立大事D既不是互斥大事与不是对立大事答案:C_随机大事的关系_一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设大事A表示向上
5、的一面毁灭奇数点,大事B表示向上的一面毁灭的点数不超过3,大事C表示向上的一面毁灭的点数不小于4,则()AA与B是互斥而非对立大事BA与B是对立大事CB与C是互斥而非对立大事DB与C是对立大事解析AB毁灭点数1或3,大事A,B不互斥更不对立;BC,BC,故大事B,C是对立大事答案D规律方法对互斥大事要把握住不能同时发生,而对于对立大事除不能同时发生外,其并大事应为必定大事,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把全部试验结果写出来,看所求大事包含哪些试验结果,从而断定所给大事的关系1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记大事A为“只订甲报纸”,大事B为“至少订一种报纸”,大事C为“至多订一
6、种报纸”,大事D为“一种报纸也不订”推断下列每对大事是不是互斥大事;假如是,再推断它们是不是对立大事(1)A与C;(2)B与D;(3)B与C;(4)C与D.解:(1)由于大事C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即大事A与大事C有可能同时发生,故A与C不是互斥大事(2)大事B“至少订一种报纸”与大事D“一种报纸也不订”是不行能同时发生的,故B与D是互斥大事由于大事B不发生可导致大事D确定发生,且大事D不发生会导致大事B确定发生,故B与D还是对立大事(3)大事B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,大事C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种
7、报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个大事可能同时发生,故B与C不是互斥大事(4)由(3)的分析,大事D“一种报纸也不订”是大事C的一种可能,即大事C与大事D有可能同时发生,故C与D不是互斥大事_随机大事的频率与概率_(2022高考陕西卷)某保险公司利用简洁随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估量赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,
8、车主是新司机的占20%,估量在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率解(1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”,B表示大事“赔付金额为4 000元”,以频率估量概率得P(A)0.15,P(B)0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.212024(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4
9、000元的频率为0.24,由频率估量概率得P(C)0.24.规律方法频率是个不确定的数,在确定程度上频率可以反映大事发生的可能性大小,但无法从根本上刻画大事发生的可能性大小,但从大量重复试验中发觉,随着试验次数的增多,大事发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率2.某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如表所示:射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率(1)计算表中击中10环的各个频率;(2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率为多少?解:(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.(
10、2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率约为0.90._互斥大事、对立大事的概率(高频考点)_随机大事的频率留意对互斥大事和对立大事的概率的考查,以选择题、填空题为主,难度不大,属于低档题目高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度:(1)依据互斥大事有一个发生求概率;(2)利用对立大事求概率(1)(2021太原模拟)抛掷一颗骰子,观看掷出的点数,设大事A为毁灭奇数点,大事B为毁灭2点,已知P(A),P(B),则毁灭奇数点或2点的概率是_(2)(2021南通模拟)已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的概率为0.1,则甲射击一次,命中6
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