2021高考数学(福建-理)一轮作业：5.1-平面向量的概念及线性运算.docx

§5.1 平面对量的概念及线性运算
一、选择题
1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ）
A.a∥b B. a⊥b
C.{0,1,3} D.a+b=ab
答案 B
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　若a＋b＝0，则a＝－b.
∴a∥b；
若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不愿定成立．
答案　A
3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)．
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析　如图，依据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，
∴＋＝0.
答案　B
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为(　　)
A．－3 B．2 C．4 D．－6
解析 由于(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，
∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.
答案 D
5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的外形是(　　)．
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
∴∥，又与不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
答案　C
6．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝(　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析　∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心，
∴＋＝3，∴m＝3.
答案　B
7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°.
答案：A
二、填空题
8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________.
解析：由－3＋2＝0，得－＝2(－)，
即＝2，于是＝2.
答案：2
9．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，确定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
其中不正确的个数为________．
解析　①中，∵向量与为相反向量，
∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不愿定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不愿定共线，∴该命题错误．
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D四点不愿定在一条直线上，∴该命题错误．
答案　3
10.已知向量夹角为 ，且；则.
解析
答案
11．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析 由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ，
∴λ＝，
∴＝.
答案
12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为________．
解析　(等价转化法)＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，
∴|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案　直角三角形
【点评】 本题接受的是等价转化法，将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而推断三角形外形.本题也可用两边平方开放得出结论.
三、解答题
13．如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，.
解析　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)，
＝(a＋b)，＝(a＋b)．
14．设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？
解析　设a－tb＝λ(λ∈R)，
化简整理得a＋b＝0，
∵a与b不共线，∴由平面对量基本定理有
∴
故t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上．
15．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量、、、、；
(2)求证：B、E、F三点共线．
解析：(1)延长AD到G，
使＝，
连结BG、CG，得到▱ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
所以B、E、F三点共线．
16．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1，
∴＝m＋n＝m＋(1－m)，
即－＝m(－)．
∴＝m，而≠0，且m∈R.
故与共线，又，有公共点B.
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．
即＝λ＋(1－λ).
由＝m＋n.
故m＋n＝λ＋(1－λ).
又O，A，B不共线，∴，不共线．
由平面对量基本定理得
∴m＋n＝1.